Continuidad Lipschitz de $x \mapsto|x|$ en $\mathbb{R}$

Question

Es $|x|$ ¿Continuo Lipschitz? He empezado a estudiar la continuidad de Lipschitz. Creo que es continua de Lipschitz, si se toma el límite M, según la definición como 2. Entonces será continua de Lipschitz en cero. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tienes razón.

Se puede observar que, para cualquier número real $x,y$ tenemos $$ ||x|-|y||\leq 1\cdot|x-y|, $$ así $|\cdot|$ es $k$ -Lipschitz continua con $k=1$ .

Answer 2

¿Qué es la continuidad de Lipschitz? Dice que $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$ para alguna constante $M$ para todos $x,y$ .

Si $f(x) = |x|$ entonces básicamente tenemos que demostrar que $||x|-|y|| \leq M|x-y|$ para alguna constante $M$ . Esta es una igualdad conocida y se puede demostrar de la siguiente manera:

Desde $x + (x-y) = y$ tenemos por la desigualdad del triángulo que $|x-y| \geq |y| - |x|$ .

Del mismo modo, ya que $y + (y-x) = x$ tenemos por la desigualdad del triángulo que $|y-x| \geq |x| - |y|$ .

Lo anterior se reduce a $|x-y| \geq ||x|-|y||$ . Por lo tanto, con $M=1$ se cumple la condición de Lipschitz.

Sin embargo, $f$ no es diferenciable en cero, por lo que la función de valor absoluto constituye un importante ejemplo de función continua no diferenciable de Lipschitz.