Derivación de la función de densidad condicional

Question

Deje $(\Omega, \mathcal{F},P)$ ser un espacio de probabilidad y $X\colon\Omega \to \mathbb{R},Y \colon \Omega \to \mathbb{R}$ ser aleatorias continuas variables (es decir, variables aleatorias que tienen una función de densidad. Estoy asumiendo que esto implica $P(X=x)=P(Y=y)=0~\forall x,y \in \mathbb{R}$).

De acuerdo a Papoulis, la función de distribución condicional $F_{X|Y} = P(X \leq x | Y = y)$ se define teniendo en cuenta la probabilidad de $P(X \leq x | y \leq Y \leq y + \delta y)$ y tomando el límite de $\delta y\to 0$. Sin embargo, no me parece la etimología dada no riguroso.

Es fácil escribir:

$$P(X \leq x | y \leq Y \leq y + \delta y) = \frac{P( X \leq x, y \leq Y \leq y + \delta y)}{P(y \leq Y \leq y + \delta y)} = \frac{F_{X,Y}(x,y+\delta y) - F_{X,Y}(x,y)}{F_Y(y+\delta y) - F_Y(y)}$$ from definition of $F_{X,Y}$, $F_Y$ y el hecho de que el punto probabilidades son cero.

No estoy seguro de cómo evaulate el límite:

$$\lim_{\delta y \to 0} \frac{F_{X,Y}(x,y+\delta y) - F_{X,Y}(x,y)}{F_Y(y+\delta y) - F_Y(y)}.$$

He intentado usar la regla de L'Hospital, este límite es de la forma $\frac{0}{0}$ pero no estoy seguro si esa es la dirección correcta.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

EDIT: Papoulis obtiene una fórmula para la función de densidad por diferenciar el término dentro del límite. es decir, $$ f_{X|Y}(x,y) = \lim_{\delta y \to 0} \left(\frac{\partial F_{X,Y}(x,y+\delta y) - F_{X,Y}(x,y)}{\partial x}\frac{1}{F_Y(y+\delta y) - F_Y(y)}\right)$$

Creo que debería haber pedido la derivación de la función de densidad como me temo que el Condicional funciones de Distribución no tiene una cuidada expresión.

Gracias, Phanindra

Answer 1

$P\left ( \{X \leq a\} \cap \{b \leq Y \leq b + \delta b\}\right )$ es el total de masa de probabilidad en la (infinitamente largo) franja horizontal con NE esquina $(a, b+\delta b)$ y esquina SE $(a, b)$, o si pensamos en el conjunto densidad de $f_{X, Y}(x,y)$ como la definición de una superficie por encima de la $x$-$y$ plano, a continuación, este la probabilidad puede ser pensado como el volumen de un trozo de anchura $\delta b$. Para pequeños valores de $\delta b$ (cuando el sector es muy delgada), este volumen es de aproximadamente el área de la cara de la rebanada (la integral de la densidad conjunta $f_{X, Y}(x,b)$ $x = -\infty$ $x = a$) veces el grosor de la rebanada $\delta b$. Es decir, $$ P\left (\{X \leq\} \cap \{ b \leq Y \leq \delta b\} \right ) \approx \delta b \int_{-\infty}^un f_{X, Y}(x,b) \mathrm dx. $$ Desde $P(b \leq Y \leq \delta b) \approx f_Y(b)\delta b$ para las pequeñas los valores de $\delta b$, obtenemos que $$ \begin{align*} P(X \leq a \mid b \leq Y \leq \delta b) &= \frac{P\left (\{X \leq a\} \cap \{ b \leq Y \leq \delta b\} \right )}{P(\{b \leq Y \leq \delta b\})}\\ &\approx \frac{\displaystyle \delta b \int_{-\infty}^a f_{X, Y}(x,b) \mathrm dx}{f_Y(b)\delta b}\\ &\approx \int_{-\infty}^a \frac{f_{X, Y}(x,b)}{f_Y(b)} \mathrm dx \end{align*} $$ El de arriba debe ser pensado como una heurística justificación de la definición de condicional de la función de distribución y la densidad de $X$ condicionado a $Y = b$ como $$ \begin{align*} F_{X \mid Y}(a \mid Y = b) &= \int_{-\infty}^a \frac{f_{X, Y}(x,b)}{f_Y(b)} \mathrm dx\\ f_{X \mid Y}(a \mid Y = b) &= \frac{\partial}{\partial a}F_{X \mid Y}(a \mid Y = b) = \frac{f_{X, Y}(a,b)}{f_Y(b)} \end{align*} $$

Answer 2

$$ F_{X|Y}(x,y) = \lim_{\delta y \to 0} \left(\frac {F_{X,Y}(x,y+\delta y) - F_{X,Y}(x,y)}{F_Y(y+\delta y) - F_Y(y)}\right)$ $ Como esta es de la forma$\frac{0}{0}$, usando la regla de L'Hopital, obtenemos$$\lim_{\delta y \to 0} \left(\frac {\partial {F_{X,Y}(x,y+\delta y) - F_{X,Y}(x,y)}}{\partial \delta y} \frac{1}{\frac{\partial F_Y(y+\delta y) - F_Y(y)}{\partial \delta y}} \right)$ $ que es igual a$$\frac{\partial {F_{X,Y}(x,y)}}{\partial y} \frac{1}{f_Y(y)}$$ which when differentiated w.r.t $ x $ da la expresión para la densidad $$ f_ {X | Y} (x, y): = \ frac {\ partial F_ {X | Y} (x, y)} {\ partial x} = \ frac {\ partial ^ 2 {F_ {X, Y} (x, y)}} {\ partial x \ partial y} \ frac {1} {f_Y (y)}: = \ frac {f_ {X, Y} (x, y)} {f_Y (y)} $$

Con suerte, mi suposición con respecto a la existencia de una derivada parcial de$F_{X,Y}(x,y)$ como$\frac{\partial {F_{X,Y}(x,y)}}{\partial y} $ no es incorrecta.