¿Cuál es el número esperado de palos en una mano de 4 cartas?

Question

Para encontrar el número esperado de trajes, la fórmula es$E(Num Suits) = 1*P(1 Suit) + 2*P(2 Suit) + 3*P(3 Suit) + 4*P(4 Suit)$

Para la probabilidad de obtener 4 palos, obtuve${13 \choose 1}^4 {4 \choose 4}/{52 \choose 4}$

Para la probabilidad de obtener solo 1 palo, obtuve${4 \choose 1} {13 \choose 4} / {52 \choose 4}$

Tengo dificultades para encontrar las probabilidades para los 2 y 3 palos. Sé por los dos palos que tenemos la posibilidad de obtener AAAB o AABB.

¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: el número de trajes es la suma de cuatro indicadores :$N = X_1+X_2+X_3+X_4$ donde$X_k$ es igual a 1 si el traje$k$ está presente, y es igual a cero de lo contrario, con$k$ sobre el cuatro posibles trajes.

Ahora la expectativa que buscas es$E(N) = E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)+E(X_4)=4E(X_1)$ por simetría. Pero$E(X_1)=P(\text{suit #1 is present})$, que puede calcular al preguntar "¿Cuál es la probabilidad de que el palo n. ° 1 esté ausente de mi mano de cuatro cartas?"

Answer 2

Este es un buen ejercicio, porque el método descrito por @grand_chat es mucho más fácil que el método directo. El uso de OP de la notación, la probabilidad de tener exactamente un traje es $$ P(AAAA)=\frac{4\cdot{{13}\elegir{4}}}{{52}\seleccione{4}}\approx 0.0106; $$ la probabilidad de tener dos trajes es $$ P(AAAB)+P(AABB)=\frac{4\cdot {{13}\, seleccione{3}}\cdot 3 \cdot {{13}\elegir{1}} + {{4}\seleccione{2}}\cdot{{13}\elegir{2}}^2} {{52}\seleccione{4}}\approx 0.2996; $$ la probabilidad de tener tres palos es $$ P(AABC)=\frac{4\cdot{{13}\, seleccione{2}}\cdot{{3}\, seleccione{2}}\cdot{{13}\elegir{1}}^2}{{52}\seleccione{4}}\approx 0.5843; $$ y la probabilidad de tener cuatro palos es $$ P(ABCD)=\frac{{{13}\elegir{1}}^4}{{52}\seleccione{4}}\approx 0.1055. $$ Estos se suma a $1$, como se debe. El número esperado de trajes es, por tanto, $$ (1\cdot 0.0106) + (2\cdot 0.2996) + (3\cdot 0.5843) + (4\cdot 0.1055) = 2.7847. $$ Alternativamente, podemos calcular la probabilidad de tener un particular traje, que es $$ P(\#A>0)=1-P(\#A=0)=1-\frac{{39}\, seleccione{4}}{{52}\, seleccione{4}}\approx 0.6962, $$ y que se multiplican por cuatro, obteniendo el mismo resultado ($2.7847$) de forma mucho más sencilla.