Derivación de chi-squared pdf con un grado de libertad de la distribución normal pdf

Question

¿Cómo podemos derivar la función de densidad de probabilidad chi-cuadrado (pdf) usando el pdf de la distribución normal?

Quiero decir, necesito mostrar que

ps

Answer 1

La forma en que la pregunta se expresa es un desastre, pero voy a asumir que significa esto: si $X\sim N(0,1)$, ¿cómo encontrar el pdf de $X^2$? He aquí una manera. Recuerde que el pdf de $X$ es $$ \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}. $$ Deje $f$ ser el pdf de $X^2$. Entonces $$ \begin{align} f(x) & = \frac{d}{dx} \Pr(X^2 \le x) = \frac{d}{dx} \Pr(-\sqrt{x}\le X\le\sqrt{x}) \\ \\ & = \frac{d}{dx} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\sqrt{x}}^\sqrt{x} e^{-u^2/2} \;du = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\frac{d}{dx} \int_0^\sqrt{x} e^{-u^2/2} \;du \\ \\ & = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} e^{-\sqrt{x}^2/2} \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} e^{-x/2} \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ \\ \\ & = \frac{e^{-x/2}}{\sqrt{2\pi x}}. \end{align} $$

A veces puede ser escrito como $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} x^{\frac12 - 1}e^{-x/2}$, de modo que usted puede ver cómo se asemeja a la función implicada en la definición de la función Gamma.

Su título dice 1 grado de libertad. Pero lo que escribes parece permitir a $r$ a ser un número distinto de 1. Si usted quiere hacer eso, entonces hay más trabajo que hacer.

Answer 2

Si $X \sim (\mu, \Sigma) \neq (0, I)$, el resultado que usted desea probar no se sostiene: incluso si las variables aleatorias son independientes, pero tienen distinto de cero significa que usted obtiene un no-central $\chi^2$ pdf que no es lo que usted está tratando de mostrar.

Si $X_1, \ldots, X_n$ son independientes aleatoria normal estándar de las variables, a continuación, $X_i^2$ tiene una distribución Gamma con parámetros de escala $\frac{1}{2}$ y parámetro de orden $\frac{1}{2}$. A continuación, $\sum_{i= 1}^n X_i^2 $ es una suma de $n$ independiente Gamma variables al azar, cada uno con escala el parámetro $\frac{1}{2}$ y el orden el parámetro $\frac{1}{2}$ y es por tanto una variable aleatoria Gamma con escala el parámetro $\frac{1}{2}$ y el parámetro de orden $\frac{r}{2}$.