La ecuación de Legendre

Question

Me dieron dos soluciones a la ecuación de Legendre:

ps

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Estoy tratando de explicar por qué su integral de superposición (es decir,$$P_1=x$) no es cero. Lo calculé y de hecho no es cero, pero estoy teniendo dificultades para justificar por qué. Estoy pensando que tiene algo que ver con el hecho de que las soluciones$$Q_0=\frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ y$\int_{-1}^{1} P_1 Q_0 dx$ están construidas con diferentes funciones de peso. O tal vez tiene algo que ver con la integridad de las soluciones. ¿Alguna idea?

Answer 1

Como ha sido demostrado, la integral no es cero. Esto está bien. Desde $P$ $Q$ obedecen a diferentes condiciones de contorno son funciones propias de los diferentes Sturm-Liouville sistemas, por lo que no debemos esperar que ellos sean ortogonales.

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Consideremos un ejemplo más familiar, $$\begin{array}{l} y'' + n^2 y = 0 \\ y(0) = y(\pi) = 0. \end{array}$$ El no normalizados funciones propias son $f_{n} = \sin n x$, donde $n \in \mathbb{N}$. Sturm-Liouville la teoría nos dice que las funciones propias deben ser ortogonales, y por supuesto que son. El sistema relacionado $$\begin{array}{l} y'' + n^2 y = 0 \\ y'(0) = y'(\pi) = 0 \end{array}$$ tiene funciones propias $g_{n} = \cos n x$. De nuevo, las funciones propias son ortogonales. Sin embargo, Sturm-Liouville teoría no tiene nada que decir acerca de si $f_m$ $g_n$ son ortogonales, y en realidad, no lo son en general. Por ejemplo, $$\int_0^\pi dx\, \sin x \cos 2x = -\frac{2}{3}.$$

Answer 2

Como$Q_0(x)$ es pointymmetric $$ Q_0 (x) = \ frac {1} {2} \ ln \ left (\ frac {1 + x} {1-x} \ right) = - \ frac {1} {2} \ ln \ left (\ frac {1 + (- x)} {1 - (- x)} \ right) = - Q_0 (-x) $$ como es$P_1(x)=-P_1(-x)$, el producto es simétrico $$ P_1 (x) Q_0 (x) = (- 1) ^ 2P_1 (-x) Q_0 (-x). $$

Como sus límites también son simétricos obtendremos $$ \ int _ {- 1} ^ {1} P_1 (x) Q_0 (x) dx = \ int _ {- 1} ^ {0} P_1 (x) Q_0 (x) dx + \ int_ {0} ^ {1} P_1 (x) Q_0 (x) dx = 2 \ int_ {0} ^ {1} P_1 (x) Q_0 (x) dx $$ y desde$P_1(x)$ y$ Q_0(x)$ son positivos en$[0,1]$, su integral no es cero.