¿Conocía Newton un incipiente teorema de la función inversa?

Question

Más concretamente, ¿sabía Newton que dado un par de funciones inversas $f$ y $h$ tal que

$$f(h(x)) = x = h(f(x))$$ sobre el origen que, para

$$(x,y)=(h(y),f(x)),$$

las derivadas satisfacen

$$f^{'}(x) = 1/h^{'}(y)$$

o

$$dy/dx = 1/(dx/dy)$$

cerca del origen?

Heurísticamente, esto se deduce simbólicamente de

$$dy = f^{'}(x)dx = f^{'}(x)h^{'}(y)dy, $$ o, de forma equivalente, de la regla de la cadena aplicada a la ecuación superior.

Y se deduce geométricamente para una función cuya gráfica se encuentra en el primer cuadrante por reflexión a través de la bisectriz del primer cuadrante, la recta $y=x$ . Evidentemente, la pendiente de cualquier línea tangente se invierte por la reflexión al igual que los desplazamientos a lo largo de la $x-$ y el eje $y-$ se intercambian. De hecho, se deduce directamente de la perspectiva de la línea tangente ya que $$ y = m \; x + b$$ y $$y = \frac{1}{m}(x-b)$$ describen un par inverso.

Seguramente, con el dominio que Newton tenía del cálculo geométrico, era consciente de estas relaciones. ¿Hay pruebas de ello en la obra de Newton?

Relacionado MO-Q por Ziegler.

Publicado de forma cruzada desde este MO-Q .

Edición 6/12/17:

Un ejemplo de un cálculo que incorpora el IFT y que habría sido obvio para Newton y plausible para él si sólo fuera una simple comprobación de sus fórmulas generales:

Se sabía mucho antes de Newton que

$$\frac{d\tan(x)}{dx} = 1+ \tan^2(x),$$

o, con $y = \tan(x)$ ,

$$\frac{dy}{dx} = 1+ y^2.$$

En términos de fluxiones y flujos, esto podría ponerse en forma de Función implícita de Newton

$$g(x,y,\dot{x},\dot{y})=\dot{y}-(1+y^2)\dot{x}=0.$$

Entonces

$$\frac{\dot{x}}{\dot{y}}= \frac{1}{1+y^2}=\frac{dx}{dy}, $$

y la aplicación del teorema del binomio y la integración daría la serie

$$ \arctan(y) = x = y - \frac{y^3}3+\frac{y^5}5-\frac{y^7}7+\dots. \tag3 $$

Newton podría entonces haber derivado una expresión en serie para $\tan(x)$ utilizando su fórmula de reversión de la serie (véase Ferraro ) para encontrar la serie de la inversa compositiva de una función a partir de su serie de potencias. De hecho, el mismo procedimiento se aplica para encontrar una serie para $\sin(x)$ en Ferraro en las páginas 76-78 tras una supuesta reconstrucción de Horsley de la derivación de Newton de la serie.

Editar (10 de abril de 2018):

Según el artículo de Wikipedia sobre la regla de la cadena, tanto Newton como Leibniz conocían la regla de la cadena, y el teorema de la función inversa en su forma más simple se deriva de la aplicación de la regla de la cadena a $x = f(f^{-1}(x))$ . Esto proporcionaría una fácil comprobación de la veracidad de la regla de la cadena que alguien tan meticuloso como Newton habría utilizado.

Answer 1

En cierto sentido es obvio que Newton lo sabía al menos después de 1684, ya que Leibniz publicó ese año su artículo fundacional sobre el cálculo infinitesimal. En ese artículo Leibniz introduce la notación $\frac{dy}{dx}$ (el cociente de diferenciales infinitesimales) y desde este punto de vista su observación es evidente. Puede que los matemáticos de Inglaterra adoptaran tarde la notación leibniziana, pero Newton estaba seguramente al tanto de los avances científicos en el continente.