Una exponenciación más simétrica

Question

La exponenciación es distributiva sobre la multiplicación, pero no es conmutativa ni asociativa, como la suma y la multiplicación.

Hay una operación binaria que es distributiva sobre la multiplicación, y también conmutativa y/o asociativa?

En el fin de encontrar una operación de este tipo, he asumido que hay un elemento de identidad. Una pregunta más fácil que la anterior es: Es el elemento de identidad $0$, $1$, o tampoco?

Si usted encuentra una operación en la que se trabaja, se puede encontrar una conmutativa y/o asociativas operación es distributiva sobre eso?

Answer 1

Para los números reales positivos, se puede definir

$$a * b = e^{\log(a) \cdot \log(b)}.$$

Esta es una propiedad conmutativa y asociativa de la operación, que tiene un elemento de identidad $e$, y se distribuye a través de la multiplicación:

$$a * (b\cdot c) = (a * b) \cdot (a * c),$$

como es fácil comprobar. De hecho, hay una familia infinita de tales operaciones, como puede reemplazar $e$ por cualquier constante positiva $k\neq 1$, e $\log$$\log_k$.

Para un conmutativa y asociativa de la operación que distribuye más de $*$, se puede definir

$$a ** \:b = e^{\log(a) * \log(b)} = e^{e^{\log(\log(a)) \cdot \log(\log(b))}},$$

que tiene una identidad $e^e$. Está claro que se puede continuar con la construcción de nuevas operaciones de esta manera indefinida, formando un conmutativa de la versión de la hyperoperation secuencia.