Es todo subcampo algebraicamente cerrado de $\mathbb C[[X]]$ contenida en $\mathbb C$ ?

Question

Dejemos que $F$ sea un subring (con la misma unidad) de $\mathbb C[[X]]$ tal que $F$ es un campo algebraicamente cerrado; entonces es cierto que $F \subseteq \mathbb C$ ?

Desde $F, \mathbb C$ son campos algebraicamente cerrados de la misma característica , por lo que sé que $F$ se incrusta en $\mathbb C$ o $\mathbb C$ se incrusta en $F$ pero no puedo decir nada más.

Surgió en un comentario aquí Dado un subconjunto finito de $\mathbb C[[X]]$ ¿existe un automorfismo de anillo de $\mathbb C[[X]]$ , fijando $A$ , pero sin arreglar $\mathbb C$ ¿conjunto sabio?

Answer 1

Dejemos que $a\in\mathbb{C}$ sea cualquier elemento que sea trascendente sobre $\mathbb{Q}$ , dejemos que $b=a+X$ y considerar el subcampo $K=\mathbb{Q}(b)\subset\mathbb{C}[[X]]$ (cualquier polinomio no trivial en $b$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$ tiene un término constante no nulo y por tanto es invertible, por lo que $b$ genera un subcampo de $\mathbb{C}[[X]]$ ). Obsérvese que la reducción mod $X$ mapa $\mathbb{C}[[X]]\to\mathbb{C}$ se restringe a un isomorfismo $K\to\mathbb{Q}(a)$ enviando $b$ a $a$ . Consideremos ahora cualquier polinomio irreducible $p(t)\in K[t]$ . Cuando reducimos los coeficientes de $p$ mod $X$ obtenemos un polinomio irreducible $\tilde{p}(t)\in \mathbb{Q}(a)[t]$ . Este polinomio irreducible tiene raíces distintas en $\mathbb{C}$ y por el lema de Hensel cada una de estas raíces se puede elevar a una raíz de $p(t)$ en $\mathbb{C}[[X]]$ .

Ahora dejemos que $F$ sea el cierre algebraico de $K$ en $\mathbb{C}[[X]]$ . Por el resultado del párrafo anterior, todo polinomio irreducible sobre $K$ se divide en $F$ . Desde $F$ es algebraico sobre $K$ Esto significa que $F$ es algebraicamente cerrado.