$$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+k+\frac{k}{n^2}}$ $ Intenté sin éxito encontrar dos Sumas de Riemann diferentes convergiendo al mismo valor cerca de la suma dada para poder usar el Teorema de Squeeze. ¿Hay alguna otra forma de resolver esto?
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RRL
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Escribir esto como
$$\lim_{n \to \infty}S_{nn} = \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}+\frac{k}{n}\frac{1}{n^2}} $$
una técnica que funciona a menudo es evaluar el límite doble
$$\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} S_{mn} = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}+\frac{k}{n}\frac{1}{m^2}} = \lim_{m \to \infty}\int_0^1 \frac{dx}{1 +x + x/m^2} = \int_0^1 \frac{dx}{1 +x} $$
donde el último paso es justificado por la DCT.
Podemos justificar $ \lim_{n \to \infty} S_{nn} = \lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} S_{mn} = \log 2$ mostrando una de las iteradas de los límites de exposiciones de convergencia uniforme.
Un ejemplo con más detalles aquí. El argumento para justificar el uso de la doble límite en este caso será similar.
Es fácil ver eso
$$ \begin{align} \left |\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k+k/n^2}-\sum_{k=1}^n \frac1{n+k}\right|&=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^n \frac{k}{(n+k+k/n^2)(n+k)}\\\\ &\le \frac1{n^2}\sum_{k=1}^n \frac1k\tag 1 \end {align} $$
Luego, usando$\sum_{k=1}^n\frac1k =\gamma+\log(n) +O\left(\frac1n\right)$, vemos que el límite del lado izquierdo de$(1)$ como$n\to \infty$ es$0$.
¿Puedes terminar ahora?
Felix Marin
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$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \lim _{n \to \infty }\sum _{k = 1}^{n}{1 \over n + k + k/n^{2}} & = \lim _{n \to \infty }\bracks{{n^{2} \over n^{2} + 1} \sum _{k = 1}^{n}{1 \over k + n^{3}/\pars{n^{2} + 1}}} \\[5mm] & = \lim _{n \to \infty }\braces{{n^{2} \over n^{2} + 1} \sum _{k = 1}^{\infty}\bracks{{1 \over k + n^{3}/\pars{n^{2} + 1}} - {1 \over k + n^{3}/\pars{n^{2} + 1} + n}}} \\[5mm] & = \lim _{n \to \infty }\braces{{n^{2} \over n^{2} + 1} \bracks{H_{\large n^{3}/\pars{n^{2} + 1} + n}\ -\ H_{\large n^{3}/\pars{n^{2} + 1}}}} \end{align} donde $\ds{H_{z}}$ es un Número Armónico.
En el uso de la $\ds{H_{z}}$ comportamiento asintótico como $\ds{\verts{z} \to \infty}$, es sencillo encontrar:
$$ \bbx{\lim _{n \to \infty }\sum _{k = 1}^{n}{1 \over n + k + k/n^{2}} = \ln\pars{2}} $$
Dr. MV
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Pensé que podría ser instructivo presentar un método que se base solo en el teorema de compresión . Para ese fin, procedemos.
Primero, es trivial ver que
ps
En segundo lugar, tenga en cuenta que tenemos
$$ \begin{align} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k+k/n^2}&=\sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+k)\left(1+\frac{k/n^2}{n+k}\right)}\\\\ &\ge \sum_{k=1}^n \frac{1}{(n+k)}\left(1-\frac{k/n^2}{n+k}\right)\\\\ &\ge \left(1-\frac1{n^2}\right)\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\tag2 \end {align} $$
Poniendo$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k+k/n^2}\le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k}\tag 1$ y$(1)$ juntos revela
ps
de donde la aplicación del teorema de compresión produce el límite codiciado
ps
¡como se esperaba!
