Cálculo de la matriz exponencial de la matriz de rotación

Question

Tengo la matriz:

$$A=\begin {pmatrix} 0 &-1\\ 1 & 0\\ \end{pmatrix}$$ Y quiero intentar calcular su exponencial utilizando esta fórmula $$\ e^{M} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\ M^{k}\\$$

He calculado que $$A^{2} = -I$$ $$A^{3}=-A$$ y $$A^{4}=I$$ donde $I$ es la matriz de identidad. Luego he intentado utilizar el hecho de que la suma recorrerá estas matrices para separar la suma y luego recombinarla en una sola matriz. Sin embargo, lo que obtengo no se puede expresar fácilmente como una suma. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dividir la suma en términos Impares y pares

\begin{eqnarray} e^A &=& \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{A^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{A^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &=& \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k)!}I + \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)!}A \\ &=& \cos(1) I + \sin(1)A \\ \end{eqnarray}

Answer 2

Usted tiene \begin{align}e^A&=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}+\frac12\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}+\frac1{3!}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}+\frac1{4!}\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\cdots\\&=\begin{pmatrix}1-\frac1{2!}+\frac1{4!}-\cdots&-1+\frac1{3!}-\frac1{5!}+\cdots\\1-\frac1{3!}+\frac1{5!}-\cdots&1-\frac1{2!}+\frac1{4!}-\cdots\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}\cos(1)&-\sin(1)\\\sin(1)&\cos(1)\end{pmatrix}.\end{align}

Answer 3

Un boceto :

Consideremos primero esta matriz como una matriz en $\mathcal M_2(\mathbf C)$ y lo diagonalizo. Su polinomio característico es $\lambda^2+1$ por lo que los valores propios son $i,-i$ . Se encuentran los correspondientes vectores propios: $e_1=(1,1)$ y $e_2=(1,i)$ . En esta base, la matriz diagonal $D$ de los valores propios tiene exponencial: $$\exp D=\exp\begin{pmatrix}\mathrm e^i &0\\0&\mathrm e^{-i}\end{pmatrix}.$$ Ahora, el cambio de matriz base de la base canónica a la base $(e_1,e_2)$ y su inversa son $$P=\begin{pmatrix}i&1\\1&i\end{pmatrix},\quad P^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}-i&1\\1&-i\end{pmatrix}.$$ Además, sabemos que $D=P^{-1}AP,\quad \text{so }\enspace A=PDP^{-1}$ y $$\exp A=P\exp(D)P^{-1}=\text{ (some computation) }= \begin{pmatrix}\cos 1&-\sin 1\\\sin 1&\cos 1\end{pmatrix}$$ es decir, la matriz de rotación por 1 rad.

Answer 4

Con la fórmula anterior es fácil comprobar que $t \mapsto e^{At}$ satisface la ODE $\dot{X} = AX$ , $X(0) = I$ . Queremos calcular $X(1) = e^A$ .

Tenga en cuenta que $\ddot{X} = -X$ , por lo que cada entrada tiene la solución general $t \mapsto a \cos t + b \sin t$ por lo que la solución general es $X(t)=(\cos t)C + (\sin t) S$ para algunas matrices $C,S$ .

La condición inicial da $C=I$ y la EDO da $\dot{X}(t) = -(\sin t) I + (\cos t) S = (\cos t)A + (\sin t) AS$ por lo que vemos que $S=A$ .

Por lo tanto, $X(t) = e^{At} = (\cos t)I + (\sin t) A$ . Elección de $t=1$ da la respuesta deseada.

Answer 5

$${\rm A}^2 = - {\rm I}_2$$

Por lo tanto, la matriz ${\rm B} := \frac{{\rm A}}{i}$ es involuntario es decir, ${\rm B}^2 = {\rm I}_2$ . Utilizando Fórmula de Euler ,

$$\begin{aligned} \exp({\rm A}) = \exp \left( i {\rm B} \right) &= \cos \left( {\rm B} \right) + i \sin \left( {\rm B} \right)\\ &= \cos \left( 1 \right) \, {\rm I}_2 + i \sin \left( 1 \right) \, {\rm B}\\ &= \color{blue}{\cos \left( 1 \right) \, {\rm I}_2 + \sin \left( 1 \right) \, {\rm A}}\end{aligned}$$

donde $\cos \left( {\rm B} \right) = \cos \left( 1 \right) \, {\rm I}_2$ y $\sin \left( {\rm B} \right)= \sin \left(1 \right) \, {\rm B}$ porque ${\rm B}$ es involuntario .