No, no es cierto para todos los $n\ge 12$.
Para$n=12$,$g_{\lambda}\lt h_{\lambda}$.
Prueba :
Para $n=12$, tenemos
$$g(0)=-\frac{49}{32},g(1)=\frac{41}{32},g(2)=-\frac{197}{32},g(7)=\frac{413}{32}\implies g_{\lambda}\lt 7$$
y
$$h(x)=\frac{1}{36}(2x-1)(18x^2-139x+56)\implies h_{\lambda}=\frac{139+\sqrt{15289}}{36}\gt \frac{139+122}{36}=7.25$$
a partir de la cual
$$g_{\lambda}\lt 7\lt 7.25\lt h_{\lambda}$$
de la siguiente manera.
La próxima, vamos a demostrar que $f_{\lambda}\gt h_{\lambda}$ todos los $n\ge 12$.
Prueba :
Tenemos
$$f_{\lambda}=\frac{3(3 n^2 - 19 n + 34)+\sqrt{(9n^2-81n+182)^2+64(9n-31)}}{18(n-3)}\tag1$$
Además, observa que el $x=\frac 12$ es una raíz de $h(x)$, tenemos
$$h(x)=\frac{(2x-1)(2(n-3)x^2+(15n-2n^2-31)x+n^2-9n+20)}{4(n-3)}$$
Así,
$$h(x)=0\iff x=\frac 12,\quad \frac{2n^2-15n+31\pm\sqrt{(2n^2-17n+39)^2+20(n-4)}}{4(n-3)}$$
Ahora, para $n\ge 12$, tenemos
$$\begin{align}&\frac 12\lt \frac{2n^2-15n+31+\sqrt{(2n^2-17n+39)^2+20(n-4)}}{4(n-3)}
\\\\&\iff 2(n-3)-(2n^2-15n+31)\lt \sqrt{(2n^2-17n+39)^2+20(n-4)}
\\\\&\iff -\frac 18(4n-17)^2-\frac 78\lt \sqrt{(2n^2-17n+39)^2+20(n-4)}
\end{align}$$
que tiene para todos los $n\ge 12$.
De ello se sigue que
$$h_{\lambda}=\frac{2n^2-15n+31+\sqrt{(2n^2-17n+39)^2+20(n-4)}}{4(n-3)}\tag2$$
De $(1)(2)$,
$$\pequeño\begin{align}&f_{\lambda}\gt h_{\lambda}
\\\\&\iff \frac{3(3 n^2 - 19 n + 34)+\sqrt{(9n^2-81n+182)^2+64(9n-31)}}{18(n-3)}\\\\&\qquad\qquad \gt \frac{2n^2-15n+31+\sqrt{(2n^2-17n+39)^2+20(n-4)}}{4(n-3)}
\\\\&\iff 6(3 n^2 - 19 n + 34)+2\sqrt{(9n^2-81n+182)^2+64(9n-31)}
\\\\&\qquad\qquad \gt 9(2n^2-15n+31)+9\sqrt{(2n^2-17n+39)^2+20(n-4)}
\\\\&\iff 3(7n-25)+2\sqrt{(9n^2-81n+182)^2+64(9n-31)}
\\\\&\qquad\qquad\gt 9\sqrt{(2n^2-17n+39)^2+20(n-4)}
\\\\&\iff 9(7n-25)^2+6(7n-25)\sqrt{(9n^2-81n+182)^2+64(9n-31)}
\\\\&\qquad\qquad +4((9n^2-81n+182)^2+64(9n-31))\gt 81((2n^2-17n+39)^2+20(n-4))\\\\&\iff 6(7n-25)\sqrt{(9n^2-81n+182)^2+64(9n-31)}\gt 36((9n-104)n^2+(361n-374))
\\\\&\iff (7n-25)\sqrt{(9n^2-81n+182)^2+64(9n-31)}\gt 6((9n-104)n^2+(361n-374))
\\\\&\iff (7n-25)^2((9n^2-81n+182)^2+64(9n-31))\gt 36((9n-104)n^2+(361n-374))^2
\\\\&\iff 39 n^6 - 1200 n^5 + 15542 n^4 - 104636 n^3 + 381471 n^2 - 712796 n + 534332\gt 0\end{align}$$
que no tiene por $n\ge 12$ según WolframAlpha.
Por lo tanto, podemos decir que el $f_{\lambda}\gt h_{\lambda}$ todos los $n\ge 12$.
