No hay raíces enteras de $x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0,$ $a>b>c>d; \;\;a,b,c,d \in \mathbb N$

Question

Demostrar que las raíces de la ecuación de $x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0$ no son enteros. Donde $a>b>c>d; \{a,b,c,d\}\subset \mathbb{N}$.

Mi progreso :

Deje $f(x)=x^4-ax^3-bx^2-cx-d$ $\implies f(0)=-d<0,f(-1)=1+a-b+c-d>0$

$\implies$ al menos una raíz $\in (-1,0)$

$ \implies$ al menos dos que no son enteros raíces como la suma de todas las raíces es un número entero.

Answer 1

También puede utilizar la Raíz Racional Teorema.

El dado monic polinomio tiene entero raíces que son factores de $d$.

Deje $q$ ser un factor de $d$.

$\dfrac{d}{q}= \lambda \implies q= \dfrac{d}{\lambda}$ $\space{\lambda \in \mathbb{Z}}$

Si $q$ satisface la ecuación:

$x^4= ax^3+ bx^2 + cx +d$

entonces:

$\dfrac {d^4}{ \lambda^4} = a\dfrac{d^3}{\lambda^3}+b\dfrac{d^2}{\lambda^2}+c\dfrac{d}{\lambda}+d \implies \dfrac{d^4}{\lambda^4}= \dfrac{ad^3+bd^2\lambda + cd\lambda^2+d\lambda^3}{\lambda^3}\\ \implies \color{blue}{d^4} = \color{red}{ad^3\lambda} +bd^2\lambda^2 + cd\lambda^3 +d\lambda^4$

Pero

$a>d \implies ad^3 >d^4 \implies ad^3\lambda> d^4$

De ahí que la igualdad nunca se sostiene, la cual es una contradicción, es decir, $q$ no es una raíz.

Por lo tanto, la ecuación no tiene raíces enteras.

Editar:

Para $\lambda \in \mathbb{Z^{-}}$ Ahora, esto sólo es posible cuando se $q<0$ Deje $q= -m$ donde $m\in \mathbb{Z^+}$

$q = (-m)$ debe satisfacer la ecuación:

$m^4 = -am^3+bm^2 -cm +d$

Pero, $am^3 >bm^2$ $cm>d$

$\implies$ Lado derecho de la ecuación es negativo, lo cual es de nuevo una contradicción ya que el $x^4 > 0$ (aquí no puede ser cero, ya que podría conducir a $d=0$),

Por lo tanto $\lambda$ no puede ser negativo.

Answer 2

Podría ser mejor para argumentar el contrapositivo: si $n\in\mathbb{Z}$ es una raíz de $x^4-ax^3-bx^2-cx-d=0$, entonces es imposible tener $a\gt b\gt c\gt d\gt 0$. Para ver esto, empieza por suponer $n\gt 0$. Entonces la ecuación es equivalente a $n^4=an^3+bn^2+cn+d$. Ahora, imagina el pensamiento de este en la notación posicional: $10000_n=abcd_n$. Esto sugiere que se rompe en los casos de $a\geq n$$0\lt a\lt n$. Se puede encontrar una contradicción en cada uno de estos casos? Una vez que haya descubierto esto, el $n\lt 0$ caso es un poco más complicado, pero puede ser manejado en forma muy similar.

Answer 3

Deje $x=-m$ ser una raíz, $m\in\mathbb{N}$

$\implies m^4+m^2(am-b)+(cm-d)=0$ lo cual es una contradicción ya que cada paréntesis es positivo.

Obviamente raíz no puede ser $0$

Deje $x=m$ ser una raíz, $m\in\mathbb{N}$

$\implies m^4=am^3+bm^2+cm+d$

$\implies m|d\implies d=km\implies a=km+s,s\in \mathbb{N}$

$\implies m^3=km^3+(s+b)m^2+c+k$

lo cual es una contradicción como $km^3\ge m^3$ y el resto del plazo de RHS son positivos.

Por lo tanto dada la ecuación no tiene raíces enteras !!