Desarrollo del círculo unitario en geometrías con diferentes métricas: más allá de los taxis

Question

Mi clase se divirtió mucho volviendo a desarrollar el círculo unitario bajo el taxímetro . Ahora algunos de ellos quieren volver a hacerlo con otra métrica similar. Quiero dárselo a algunos de mis alumnos de cálculo I "de matrícula de honor" de secundaria* para que trabajen en él de forma independiente. Como tal, no puede ser demasiado difícil ni requerir demasiados conceptos avanzados.

¿Cuál es otra métrica que podría presentarles en la que se pueda describir un "círculo unitario" e intentar dar sentido a las funciones seno, coseno y tangente?

*Tengo un grupo de estudiantes de secundaria matriculados en un curso universitario. El curso, según lo previsto, es lejos demasiado fácil para ellos. (Al mismo tiempo, es bastante difícil para los estudiantes universitarios matriculados. Imagínese). Después de que los estudiantes de secundaria hacen lo que les ha sido asignado por el sistema de aprendizaje en línea, les hago trabajar en otras cosas que permito que sean bastante autoguiadas.

Answer 1

Cualquier norma define una distancia, por $d((a,b),(c,d)) = ||(a-c,b-d)||$ . Algunas normas comunes:

1. Están todos los $p$ -normas: $||(x,y)||_p = \sqrt[p]{|x|^p + |y|^p}$ (la norma habitual se da con $p=2$ ); puede hacerlos para cualquier $p$ , $0\lt p\lt \infty$ .

2. La norma sup: $||(x,y)||_{\infty} = \max\{|x|,|y|\}$ .

3. Se puede tomar una combinación lineal positiva de normas para crear una nueva.

4. Dada cualquier transformación lineal $A\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ y cualquier norma $||\cdot||$ se puede definir la norma que asigna $(x,y)$ a $||A(x,y)||$ .

También existe la métrica discreta, aunque creará un "círculo unitario" bastante desagradable.

En realidad es agradable tratar la sup norma, la $p$ -y la norma del taxi juntos. Si se dibujan los "círculos unitarios" para todas ellas, el límite de la $p$ normas como $p\to 0^+$ es la norma del taxi, mientras que el límite como $p\to\infty$ es la norma sup.

Answer 2

Dos distancias divertidas en $\mathbb{R}^2$ :

La distancia del ascensor.

$$ d((x_1,y_1),(x_2,y_2)) = \begin{cases} \vert y_1 - y_2 \vert & \text{if}\ x_1 = x_2 \\ \vert y_1 \vert + \vert x_1 - x_2 \vert + \vert y_2\vert & \text{otherwise} \end{cases} $$

La distancia de la oficina de correos.

$$ d(p,q) = \begin{cases} 0 & \text{if}\ p = q \\ \|p\| + \|q\| & \text{otherwise} \end{cases} $$

Una buena pregunta: ¿por qué se llaman distancias "ascensor" y "oficina de correos", respectivamente? :-)

EDITAR. Como apunta Arturo Magidin, con estas distancias las bolas centradas en el origen no son especialmente interesantes: hay que probar con bolas NO centradas en el origen.

MÁS EDIT. Don: ¿has visto el comentario de Arturo Magidin sobre hacer "interesantes" las bolas centradas en el origen?

Answer 3

Es un bonito resultado de Hermann Minkowski que cualquier conjunto plano convexo de simetría central puede servir como "bola unidad" de una función de distancia.

Answer 4

Uno estrechamente relacionado con los dos de la respuesta de Agustí es lo que yo llamo el métrica del bus (aunque cambio el nombre para reflejar el nombre de la compañía local de autobuses, que parece cambiar cada vez que enseño sobre espacios métricos). Así es:

$$ d(p,q) = \begin{cases} \|p - q\|_2 & \text{if } p, q, 0 \text{ are collinear} \\\\ \|p\|_2 + \|q\|_2 & \text{otherwise} \end{cases} $$

(En Trondheim (donde estoy) la mayoría de las rutas de autobús son radiales, así que esto sí enlaza con la intuición de los alumnos).

Los alumnos podrían hacer una bonita animación de lo que le ocurre a una bola de longitud unitaria centrada en un punto $(x,0)$ como $x$ va desde, digamos, $-2$ a $2$ .