Extraño patrón en la expansión decimal

Question

Me di cuenta de algo extraño cuando estaba jugando con mi calculadora.

He calculado varias potencias de $30$ de la forma $30^{\left(\frac{10^n-1}{10^n}\right)}$ y me di cuenta de un patrón en la parte fraccionaria:

$$30^{\left(\frac{9999}{10000}\right)}=29.9897981429$$

$$30^{\left(\frac{99999}{100000}\right)}=29.9989796581$$

$$30^{\left(\frac{999999}{1000000}\right)}=29.9998979643$$

El resto de las potencias se limitan a pegar un $9$ en el lugar de las décimas y desplazando todos los demás dígitos hacia abajo.

¿Por qué la expansión decimal de $30^{\left(\frac{10^n-1}{10^n}\right)}$ cuando $n\ge 5$ $29.9\cdots 989796$ ?

Answer 1

La entrada es $$\begin{align}30^{(1-10^{-n})}&=e^{(1-10^{-n})\ln30}=e^{\ln30}e^{-10^{-n}\ln30}\approx30(1-10^{-n}\ln30)\\ &=29.99999999999\dots\\ &\quad -10^{-n}(102.035921\dots)\\ &=29.\underbrace{99\dots99}_{n-3\,9\text{'s}}897964078\dots\end{align}$$

Answer 2

Respuesta corta: es por la aproximación $$ (1 + x)^{1/10} \approx 1 + \frac{x}{10} $$ válido cuando $x$ está muy cerca de $0$ . (Esta aproximación es el truncamiento lineal de la serie de Taylor $(1 + x)^{1/10} = 1 + \binom{1/10}{1}x + \binom{1/10}{2}x^2 + \binom{1/10}{3}x^3 + \dotsb$ .)

Una forma diferente de escribir esta aproximación es como $$ y^{1/10} \approx \frac{9+y}{10} $$ válido cuando $y \approx 1$ por la simple sustitución $y = 1+x$ .

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La operación que lleva $30^{\frac{99}{100}}$ a $30^{\frac{999}{1000}}$ a $30^{\frac{9999}{10000}}$ es el mapa $t \mapsto t^{1/10} \cdot 30^{9/10}$ .

Cuando $t$ está muy cerca de $30$ entonces $\frac{t}{30}$ está muy cerca de $1$ por lo que tenemos la aproximación $$ \left(\frac{t}{30}\right)^{1/10} \approx \frac{9}{10} + \frac{t/30}{10} $$ que se convierte en $$ t^{1/10} \cdot 30^{9/10} \approx \frac{9}{10} \cdot 30 + \frac{1}{10} \cdot t $$ cuando multiplicamos ambos lados por $30$ . A la derecha, tenemos el siguiente término de la secuencia de potencias: si $t = 30^{99/100}$ entonces $t^{1/10} \cdot 30^{9/10} = 30^{999/1000}$ . A la izquierda, la expresión $$ \frac{9}{10} \cdot 30 + \frac{1}{10} \cdot t $$ es una media ponderada que dice "toma un número diez veces más cercano a $30$ como $t$ es". O dicho de otro modo, la diferencia $30 - (\frac{9}{10} \cdot 30 + \frac{1}{10} \cdot t)$ se simplifica a $\frac1{10}(30 - t)$ una décima parte de la distancia $t$ era de $30$ . Cuando se recorta la distancia de $30$ en diez, se hace añadiendo un $9$ en la expansión decimal, por lo que el error va, por ejemplo, de $$ 30 - 30^{0.99999} \approx 0.0010203... $$ a $$ 30 - 30^{0.999999} \approx 0.00010203... $$

Answer 3

Considere $$a_n=30^{\left(\frac{10^n-1}{10^n}\right)}\implies \log(a_n)=\frac{10^n-1}{10^n}\log(30)=\left(1-\frac{1}{10^n}\right)\log(30)$$ Entonces $$\log(a_{n+1})-\log(a_n)=\log \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)=\frac 9{10^{n+1}} \log (30)$$ es probablemente suficiente para explicar el patrón.

Podrías cambiar $30$ por cualquier número. Probando con $1234.56789$ y utilizando la precisión illimitada, deberíamos tener $$\left( \begin{array}{cc} n & a_n \\ 5 & \color{red}{1234}.4800107051986485 \\ 6 & \color{red}{1234.5}591017890121882 \\ 7 & \color{red}{1234.567}0111760860759 \\ 8 & \color{red}{1234.5678}021175804561 \\ 9 & \color{red}{1234.56788}12117577641 \\ 10 & \color{red}{1234.567889}1211757736 \\ 11 &\color{red}{1234.5678899}121175773 \\ 12 & \color{red}{1234.56788999}12117577 \\ 13 & \color{red}{1234.567889999}1211758 \\ 14 & \color{red}{1234.5678899999}121176 \\ 15 & \color{red}{1234.56788999999}12118 \end{array} \right)$$ Mira la parte que no está en rojo.