Esta forma puede ser un cuadrado, un triángulo, un círculo, una estrella o algo más complejo.

Question

He aquí un lindo pregunta que se me ocurrió.

Empezar con un círculo y, a continuación, elija tres puntos $a$, $b$, y $c$ sobre el círculo, y proceda de la siguiente manera:

1. Dibujar el triángulo dentro del círculo con los vértices $a$, $b$, y $c$
2. Dibujar el círculo inscrito de ese triángulo, que es tangente a cada uno de los tres lados del triángulo, y ahora la etiqueta de estos tres puntos de tangencia como $a$, $b$, y $c$ (por lo tanto, estamos actualizando los puntos que estamos llamando puntos $a$, $b$, y $c$).
3. Repita desde el Paso 1.

Esta construcción nos da una secuencia de círculos inscritos y triángulos que el telescopio a un punto, un punto límite, el cual es determinado sólo por la elección inicial de los puntos $a$, $b$, y $c$. Qué puntos en el interior del círculo son el límite de puntos de esta construcción?

También, si alguien tiene ideas más interesantes variaciones de esta pregunta, me gustaría saber de ellos.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad supongamos que el círculo tiene radio de $1$, y que la triple a $(a,b,c)$ está orientado positivamente (es decir, van en sentido antihorario alrededor del círculo). Como el problema es de forma circular simétrica, es suficiente para mostrar que podemos elegir $a,b,c$, de modo que el punto límite se ha establecido en la distancia de su centro.

Para cualquier $\epsilon > 0$, se puede elegir $a, b, c$ tal que el triángulo $abc$ no intersecta a la circunferencia de radio $1-\epsilon$. Desde el punto límite debe estar en el interior del triángulo $abc$, se deduce que el punto límite puede venir arbitrariamente cerca de la frontera.

Por otro lado, si el triángulo $abc$ es equilátero, el punto límite es claramente el centro del círculo (como se fija bajo una rotación por $\frac{2 \pi}{3}$ sobre el centro).

Por lo tanto, si podemos demostrar que el mapa de $(a,b,c)$ a el punto límite es continuo, lo que se deduce que el punto límite puede tener cualquier distancia de menos de $1$ desde el centro. El conjunto de todas las posibles distancias de una imagen continua en $\Bbb{R}$ de los conectados conjunto de todas las posibles orientado triples $(a,b,c)$, por lo que debe ser un intervalo de tiempo; hemos demostrado que este intervalo de tiempo contenga $0$ y viene arbitrariamente cerca de $1$.

Answer 2

Esta respuesta tiene mucho el mismo sabor como de Micah respuesta, ya que depende de la existencia de un mapa continuo de los puntos de $(a,b,c)$ a el punto límite, y en el Teorema del Valor Intermedio.

Tomar cualquier punto de $X$ (rojo-violeta y parpadeo por alguna razón) en el interior de su círculo y vamos a $O$ (verde) ser el centro de su círculo. Dibujar el rayo $\overrightarrow{OX}$, y deje $a$ (violeta) de ser el punto donde este rayo cruza el círculo. Dibujar los otros dos puntos de $b$ $c$ (ambos violeta) tal que $\angle aOb = \angle aOc$ y cada uno es menor o igual a $2\pi/3$. Por la simetría de esta construcción, el punto límite , debe recaer en el segmento de $\overline{Oa}$.

Ahora la demanda es que esta función de $(0,2\pi/3] \to \overline{Oa}$ donde $\angle aOb$ se asigna al punto límite es continua. En fin rigurosamente demostrar que es continua (sin confiar en la foto) tendríamos que hacer algunos cálculos como en Thomas Andrews de la respuesta. Pero si usted la confianza de que es continua, desde el punto límite es el centro del círculo original al $\angle aOb = 2\pi/3$, y desde el punto límite enfoques $a$$\angle aOb \to 0$, por el Teorema del Valor Intermedio el punto límite debe ser $X$ en algún punto entre los dos. El punto de $X$ se ha elegido arbitrariamente en el interior del círculo, así que estamos bien: cada punto en el interior del círculo es el punto límite de esta construcción para algunos la elección de $a$, $b$, y $c$.

Answer 3

No una respuesta, pero demasiado largo para un comentario.

Podemos obtener una fórmula explícita para esta operación si utilizamos las operaciones vectoriales.

Dejar que $A=|\vec b-\vec c|,B=|\vec a-\vec c|, C=|\vec a-\vec b|$, definir %#% $ #%

Entonces el nuevo % de puntos $$\alpha=\frac{1}{2}(B+C-A),\\beta=\frac{1}{2}(A+C-B),\ \gamma=\frac{1}{2}(A+B-C).$es %#%$ #%

Cabe destacar que $\vec {a'},\vec {b'},\vec {c'}$

Así podemos escribir esto como:

$$\vec {a'}=\frac{\gamma \vec b+\beta \vec c}{\gamma+\beta}\\vec {b'}=\frac{\gamma \vec a+\alpha \vec c}{\gamma+\alpha}\\vec {c'}=\frac{\beta \vec a+\alpha \vec b}{\beta+\alpha}$$

o $\gamma+\beta=A, \gamma+\alpha=B,\gamma+\beta=C.$ $

Así que, si $$\vec {a'}=\frac{1}{2}\left(\left(1+\frac{B-C}{A}\right)\vec b+\left(1+\frac{C-B}{A}\right)\vec c\right)

Podemos definir $$\vec {a'}=\frac{\vec b+\vec c}{2}+\frac{|\vec a-\vec c|-|\vec a-\vec b|}{2}\frac{\vec b-\vec c}{|\vec b-\vec c|}$ para que sea continua mediante la definición de$$ f(\vec u,\vec v,\vec w)=\frac{\vec v+\vec w}{2}+\frac{|\vec u-\vec w|-|\vec u-\vec v|}{2}\frac{\vec v-\vec w}{|\vec v-\vec w|}$

Entonces nuestra transformación es:

$f$$