¿Nosotros podemos calcular $ i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { \cdots } } }$?

Question

Sería obvio que $2\sqrt { 2\sqrt { 2\sqrt { 2\sqrt { 2\sqrt { 2\sqrt { \cdots } } } } } } $ es igual a $4.$ así que qué $i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { \cdots } } } } } } \text{ ?} $ la respuesta podría ser $-1$, pero no estoy seguro como $i$ no es un número real. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

\begin{eqnarray} x= a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { a\sqrt { \cdots } } } } } } \ x=a^{ 1+1/2+1/4+1/8+\cdots} \ x=a^2 \end{eqnarray } así que parece\begin{eqnarray} i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { i\sqrt { \cdots } } } } } }=\color{red}{-1}. \end{eqnarray }

Answer 2

No sé si es correcta, pero les dejo.

Si escribimos $i $ $e^{i\pi/2} $, entonces la serie dada se convierte en:

\begin{align} & e^{i\pi/2} \sqrt{e^{i\pi/2}\sqrt{e^{i\pi/2}\sqrt{e^{i\pi/2}\sqrt{e^{i\pi/2}} \cdots}}} \[8pt] = {} & e^{i\pi \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} \cdots \right)} \[8pt] = {} & e^{i\pi \left( \frac{1/2}{1-1/2} \right)} \[8pt] = {} &\boxed{e^{i\pi}=-1} \end {Alinee el}

Answer 3

Deje $z = r e^{i\theta} \in \mathbb{C}$ $(z_n)_{n \geq 0}$ ser definido por

$$ z_0 = z, \qquad z_{n+1} = z \sqrt{z_n} $$

donde $\sqrt{\cdot} = \exp(\frac{1}{2}\log(\cdot))$ es la plaza principal de la raíz. En particular, si definimos $m : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ por

$$ m(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x \in (-\pi, \pi] \\ m(x + 2\pi) & \text{for all } x \in \mathbb{R} \end{cases} $$

luego de ello se sigue que $\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r}e^{im(\theta)/2}$. Así que si escribimos $z_n = r_n e^{i\theta_n}$, luego

$$ r_n = r^{2 - 2^{-n}}, \qquad \theta_0 = \theta, \qquad \theta_{n+1} = \theta + \frac{1}{2}m(\theta_n) $$

Como consecuencia de ello,

• Si $|\theta| \leq \frac{\pi}{2}$, entonces podemos inductivamente muestran que $\theta_n = (2 - 2^{-n})\theta \in (-\pi, \pi)$ y por lo tanto

  $$ z_n \xrightarrow[n\to\infty]{} r^2 e^{2i\theta} = z^2. $$

• Ahora considere el caso de $\theta = \frac{2\pi}{3}$. A continuación, podemos ver que $(\theta_n)$ 3 límite de puntos de $\frac{4 \pi}{21}, \frac{16\pi}{21}, \frac{21 \pi}{21}$. Esta en particular, le dice que $z_n$ no converge como $n\to\infty$. Este tipo de comportamiento es general para $\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi]$, como vemos en el gráfico de $\theta$ frente al límite de puntos de $(\theta_n)$.

  $\hspace{9em}$

  Esto indica que el $i\sqrt{i\sqrt{i\sqrt{i\cdots}}} = i^2 = -1$ es una especie de un "borde" de caso".

Answer 4

De igual forma debe

Answer 5

Una manera de abordar este problema de punto fijo rigurosamente es utilizar la forma polar de números complejos. Considerar la acción de la $$z\mapsto a\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\sqrt{z}$$ when $z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}$ is expressed in polar form, $r mapping > 0 $, $a > 0$, $-\pi/2\leq\alpha\leq\pi/2$, $-\pi