¿Existe un método para encontrar la inversa de una función arbitraria?

Question

¿Es posible obtener la inversa de todas las funciones be? Por ejemplo, ¿podemos calcular la inversa de $y=x^3+x$ ?

Answer 1

En general: ¡no!

Es necesario que una función sea uno-a-uno para que haya alguna esperanza de una inversa. Tomemos, por ejemplo, la función $f(x) = x^2.$ Esta función es de dos a uno: $f(\pm k) = k^2.$ Supongamos que estamos trabajando sobre los números reales. ¿Cuál es la inversa de $-1$ ? Pues no hay ninguna. ¿Cuál es la inversa de $4$ ? Bueno, podría ser o bien $-2$ o $+2$ porque $(-2)^2 = 2^2 = 4.$ (La inversa no está bien definida).

En general: si una función es uno-a-uno entonces hay una inversa bien definida desde el rango de la función de vuelta al dominio.

En su ejemplo, tiene $f(x) = x^3 + x.$ Esta función es uno a uno porque $f'(x) \neq 0$ para todos $ x \in \mathbb{R}$ . La gama de $f$ es el conjunto de los números reales, por lo que habrá una inversa bien definida $f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}.$ Sin embargo, es difícil escribir realmente la inversa. Será una expresión complicada. Aunque, podemos decir con certeza es que existe.

Answer 2

La función $f$ con $f(x)=x^3+x$ tiene una inversa que se puede enunciar con una fórmula explícita que sólo utiliza aritmética elemental y radicales. Aquí hay una fórmula para la función inversa de ese ejemplo. El marcado no funciona por los quilates de la url. Copia y pega todo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x%3Dy%2Por ^3+para+y%2C+y+real

Pero eso es especial para el caso en que se tiene un polinomio cúbico invertible. En general, cuando $f$ es una función invertible definida en algún subconjunto de $\mathbb{R}$ entonces la única "fórmula" que tendrás para su inversa es la notacional: $f^{-1}(x)$ .