Cómo probar que la serie $\sum _{n=1}^{\infty } \left( {F_{n+1}} \right) ^{- {F_n}} \approx 1.619141630$

Question

Supongamos que $F_n$ $n$ésimo término de la sucesión de Fibonacci. Por el cálculo numérico veo que $$ \la suma de _{n=1}^{\infty } \left( {F_{n+1}} \right) ^{- {F_n}} \aprox 1.619141630 $$ El índice de convergencia de la anterior serie es demasiado alto. Quiero decir, si calculamos con 50 dígitos, por $n\geq 8$ los valores de la serie es constante y es como sigue $$ \la suma de _{n=1}^{n\geq8} \left( {F_{n+1}} \right) ^{- {F_n}} \aprox 1.6191416299151308574250170831329152667545274408795 $$ Ahora mi pregunta: ¿Cómo prueba que la serie converge a $1.619141630$.

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Es fácil probar que $F_n>n$$n>5$.

Por lo tanto, $\left(F_{n+1}\right)^{-F_n}<n^{-n}<e^{-n}$$n>5$.

Deje $$x=\sum_{n=1}^{\infty} \left(F_{n+1}\right)^{-F_n}.$$

Entonces, para $k$ un número entero mayor que $5$, $$x - \sum_{n=1}^{k} \left(F_{n+1}\right)^{-F_n} = \sum_{n=k+1}^{\infty} \left(F_{n+1}\right)^{-F_n} < \sum_{n=k+1}^{\infty} e^{-n} = \frac{e^{-k}}{e-1}$$

La elección de $k=23$, podemos concluir que $$ 1.619141629915 < x < 1.619141629974$$ y así, con todos los dígitos correctos, $x$ es de aproximadamente 1.6191416299.

Ciertamente puede obtener más precisión mediante el uso de algo menor que $e^{-n}$ ($n^{-n}$ es mucho menor que el, pero es bueno tener una cola).