No puedo recordar una sola prueba de que he visto durante mi carrera, que asume la hipótesis continua.
Algunas pruebas son "más agradable" suponiendo, pero esta suposición no suele ser necesario. Uno podría salirse con la $\frak c$ en lugar de $\aleph_1$. Sin embargo, a medida que avances en la teoría de conjuntos de ejecutar en las cosas que dependen de la hipótesis continua.
Por ejemplo, Freiling el axioma de simetría tiene si y sólo si el continuum de la hipótesis es falsa.
Jensen se define la combinatoria principio $\lozenge$ (Diamante), que implica la hipótesis continua. Esto significa que, suponiendo que el diamante principio, un principio útil en infinitary combinatoria, también se asume $\frak c=\aleph_1$.
Saharon Sela demuestra en Diamantes [Sh:922] una generalización de este principio [1]. Generalizaciones de $\lozenge$ superior a los cardenales están implícitas en las hipótesis continua-como principios.
Todo esto viene a demostrar que la hipótesis continua, así "localizada" las versiones de que son importantes en la combinatoria de las pruebas. Desde $V=L$ (Goedel del axioma de constructibility) implica la generalizada hipótesis continua significa que una gran cantidad de estos argumentos se mantenga en $L$, sin embargo el por encima de las pruebas muestran que si uno quiere utilizar los argumentos en un modelo diferente que él todavía tiene que hacer tal y tal hipótesis.
En otros lugares "poco" fuera de la teoría de conjuntos, uno puede ver los usos de la hipótesis continua en la topología, análisis funcional y de otros temas que están cerca de la línea de la continuidad.
Un ejemplo por Todd Eisworth es este papel y la inmediata referencias mencionadas en la introducción (y más también) que vienen a mostrar que la hipótesis continua tiene algún efecto sobre propiedades topológicas.
[1] I se corrigió que no puede ser un resultado de Sela, y si es su resultado entonces era conocido antes de la publicación del documento he enlazado.
Como para la independencia de la hipótesis continua, es un poco más difícil de entender cómo esto puede ser independiente desde los números naturales tienen un "fijo" número de subconjuntos. Sin embargo esto no parece ser cierto, y uno puede pensar como la afirmación de que $2$ tiene una raíz cuadrada en cada campo.
Es audazmente falsa en $\mathbb Q$ y en $\mathbb Q[\sqrt 3]$, sin embargo es cierto en $\mathbb Q[\sqrt 2]$. En esta analogía, $\mathbb C$ es un poco como $V=L$. Es una muy "restrictiva" del modelo (desde la teoría de la algebraicamente cerrado campos se completa hasta las características del campo), por lo que decide todo.
De esa manera, $V=L$, mientras que todavía no se ha terminado todavía es bastante decisivo en muchos de los axiomas. Lo que implica $\frak c=\aleph_1$, pero sin que este axioma puede ser no muy claro.
