Demostrar la desigualdad de $a^3b^3+2b^3c^3+3a^3c^3\le 0$

Question

Para $a^3+b^3+c^3=0$. Demostrar que $a^3b^3+2b^3c^3+3a^3c^3\le 0$

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creo que a partir de $a^3+b^3+c^3=0$ tenemos a uno de los tres números es cero, los otros dos son opuestos.Supongamos $a;b$ opuestos y $c=0$

Answer 1

Usted puede hacer:

$$a^3b^3+2b^3c^3+3a^3c^3=b^3(a^3+2c^3)+3a^3c^3$$

pero, $a^3+2c^3=c^3-b^3$, por lo que

$$b^3(c^3-b^3)+3a^3c^3=-b^6+c^3(b^3+3a^3)$$

pero, $b^3+3a^3=-2b^3-3c^3$, por lo que

$$-b^6+c^3(-2b^3-3c^3)=-[(b^3+c^3)^2+2c^6]\le 0$$

Answer 2

Para simplificar la notación, reemplace $\,a^3 \mapsto a, \,b^3 \mapsto b, \,c^3 \mapsto c\,$ por lo que el problema se convierte en:

para $a+b+c=0\,$, demuestran que, a $\,ab+2bc+3ac\le 0$

Entonces, dado que el$b+c=-a\,$$a+b = -c\,$:

$$ ab+2bc+3ac = (ab+ac)+2(bc+ac)=a(b+c)+2c(a+b)=-a^2 - 2c^2 \le 0 $$

Answer 3

$$a^3b^3+2b^3c^3+3a^3c^3=a^3b^3-(a^3+b^3)(3a^3+2b^3)=$$ $$=-(3a^6+4a^3b^3+2b^6)=-a^6-2(a^3+b^3)^2\leq0.$$

Answer 4

Por simplicidad, vamos a $a^3=x,b^3=y,c^3=z$. Entonces: $x+y+z=0\Rightarrow x=-(y+z).$

$$xy+2yz+3xz=$$ $$-y(y+z)+2yz-3z(y+z)=$$ $$-y^2-2yz-3z^2=$$ $$-(y+z)^2-2z^2\le0.$$