Una simple ecuación de la función

Question

Yo vengo de un fondo de programación y no puedo encontrar una simple función matemática. La solicitud puede parecer extraño, pero yo necesitaba un contexto gráfico para modificar algunos puntos:

Necesito una función de $f(x) = y$ definido por $x \ge 0$ tal forma que:

• $f(x) \in [0, x)$
• $f(0) = 0$
• $f(x) \approx x$ $x\to \infty$.
• Tiene que crecer lentamente en un primer momento - como el tipo de $x^2$ - y, a continuación, obtener más y más cerca de x.

La más simple forma de ecuación que satisface estas restricciones van a hacer.

He intentado trazar esta para que yo pueda hacer yo mismo las entiende mejor:

http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427eo8stqhpe1s

Los valores reales no importa, sólo la forma de la parcela.

Ninguna de las funciones básicas (y combinaciones de ellos) que probé fueron haciendo esto (por ejemplo,$x^2, \log x, \sqrt x, 1/x$).

Answer 1

Este cumple con sus requisitos: $$f(x)=\frac{x^2+x^3}{1+x+x^2}.$$ Tenemos: $$\forall x>0,\ 0<f(x)<x$$ $$f(0)=0,$$ $$f(x)-x^2=-\frac{x^4}{1+x+x^2}$$ de modo que $f(x)$ $x^2$ están muy cerca para valores pequeños de a $x$, y $$f(x)-x=-\frac{x}{1+x+x^2}$$ de modo que $f(x)$ $x$ acercamos más y más como $x\to+\infty$.

Es también hoteles para calcular con 2 adiciones, 2 multiplicaciones y 1 división si continúa así:

• Calcular $x^2$ (1 mult) y $x+x^2$ (1); set $a=x+x^2$.
• Calcular $x\times a$ (1 mult); set $b=x\times a$.
• Calcular $1+a$ (1); set $c=1+a$.
• Calcular $b/c$ (1 división):$f(x)$.

Answer 2

Usted podría utilizar un común hipérbola $y = \sqrt{a^2 + x^2} - a$.

Ejemplo con $a = 10$:

Answer 3

Puede utilizar una función de ponderación $w(x)$ que le permite crear una mezcla entre las funciones de $x^2$$x$$\frac{x^2+w(x)x}{1+w(x)}$. Asegúrese de $w(0)=0$, de modo que el comportamiento inicial es $x^2$ $w$ creciendo lo suficientemente rápido que el plazo $x$ a que lo sustituye. $$w(x)=x^3\to y=\frac{x^2+x^4}{1+x^3}.$$ $$w(x)=e^x-1\to y=\frac{x^2+x(e^x-1)}{e^x}.$$

Tenga en cuenta que si usted realmente quiere llegar a $y=x$ (y no $y=x-c$), no debe ser un punto de inflexión.

Answer 4

Considerar la derivada de su función. Tiene que ser positivos,el aumento y la $f'(x→inf)=1$ $f'(x)=tanh(x)$ encaja.

$ \int \tanh(x) dx = \log (\cosh (x))+c$

Desde que desee $f(0)=0$

$\log (\cosh 0)+c=0\Leftrightarrow c=0$

Para ello $f(x)= \log (\cosh (x)) $ obras.

Answer 5

El uso de sus datos, me encontré con que $y=a x^b$ se adapta muy bien. Mis resultados son $a=0.008755$$b=3.134091$. El correspondiente $R^2=0.999$.

Esta es una forma muy flexible.