Demostrando que una Integral es Cero

Question

¿Alguien tiene alguna idea de cómo demostrar que

\begin{equation} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{4/3}} \cos x^{4/3} x^{4n+1} dx = 0, \end{equation}

para $n=0,1,2,...$?

Me encontré con esta integral mientras resolvía una EDP.

Muchas gracias de antemano por tu valiosa ayuda.

Saludos cordiales,

Maurizio Barbato

Answer 1

¡Descubrí que la fórmula que intenté demostrar es incorrecta! Tomemos por ejemplo n=0. Entonces, al establecer $u=x^{4/3}$, la integral se convierte en $ \int_{0}^{\infty} e^{-u}u^{1/2}(cos u) du, $ que es la parte real de \begin{equation} \int_{0}^{\infty} e^{u(i-1)} u^{1/2} du, \end{equation} igual a $\Gamma(3/2)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ veces la función característica de la distribución gamma con parámetros $\lambda=1$ y $\nu=3/2$, calculada en 1, que es $(1-i)^{-3/2}$. ¡Así que la parte real de la integral no es cero!

¡Muchas gracias por su atención!

Answer 2

Supongo que ya descubriste que esta integral no es igual a cero. Espero de hecho que puedas lidiar con esta integral y espero que esas derivaciones sean de alguna ayuda. $$ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{4/3}} \cos x^{4/3} x^{4n+1}\;\mathrm dx &=& \int_{0}^{\infty} e^{-x^{4/3}} \left(\frac{e^{\mathrm ix^{4/3}}+e^{-\mathrm ix^{4/3}}}{2}\right) x^{4n+1}\;\mathrm dx=\\ &=&\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4/3}(1+\mathrm i)} x^{4n+1}\;\mathrm dx+\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4/3}(1+\mathrm i)} x^{4n+1}\;\mathrm dx=\\ \end{eqnarray} $$ Multiplicando y dividiendo por $\frac{4}{3}x^{1/3}$, cambiando la variable a $t=x^{4/3}$: $$ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{4/3}(1\pm\mathrm i)} x^{4n+1}\;\mathrm dx&=&\int_{0}^{\infty} e^{-x^{4/3}(1\pm\mathrm i)} x^{4n+1}\left(\frac{3}{4}x^{-1/3}\right)\;\mathrm dx^{4/3}=\\ &=&\frac{3}{4}\int_{0}^{\infty} e^{-t(1\pm\mathrm i)} t^{3n+\frac{1}{2}}\;\mathrm dt \end{eqnarray} $$ Cambiando la variable a $z=(1\pm \mathrm i)t$: $$ \begin{eqnarray} \frac{3}{4}\int_{0}^{\infty} e^{-t(1\pm\mathrm i)} t^{3n+\frac{1}{2}}\;\mathrm dt&=& \frac{3}{4}(1\pm\mathrm i)^{-3n-\frac{3}{2}}\int_{0}^{\infty} e^{-z} z^{3n+\frac{1}{2}}\;\mathrm dt=\\ &=&\frac{3}{4}(1\pm\mathrm i)^{-3n-\frac{3}{2}}\Gamma\left(3n+\frac{3}{2}\right) \end{eqnarray} $$ Entonces $$ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\infty} e^{-x^{4/3}} \cos x^{4/3} x^{4n+1}\;\mathrm dx &=& \frac{3}{8}\Gamma\left(3n+\frac{3}{2}\right)\left((1+\mathrm i)^{-3n-\frac{3}{2}}+(1-\mathrm i)^{-3n-\frac{3}{2}}\right)=\\ &=&\frac{3}{8}\Gamma\left(3n+\frac{3}{2}\right)2^{-\frac{3n}{2}-\frac{3}{4}}\left(e^{\mathrm i \frac{\pi}{4}(-3n-\frac{3}{2})}+e^{-\mathrm i \frac{\pi}{4}(-3n-\frac{3}{2})}\right)=\\ &=&\frac{3}{8}\Gamma\left(3n+\frac{3}{2}\right)2^{-\frac{3n}{2}+\frac{1}{4}}\cos\left(\frac{3\pi}{4}\left(n+\frac{1}{2}\right)\right) \end{eqnarray} $$