Un problema sobre la convergencia uniforme

Question

$\{f_n\}$ son funciones absolutamente continuas en $[0,1]$, sabemos que si $f_n$ convergen uniformemente a una función $f$, entonces $f$ es continua.

La pregunta es: ¿La función $f$ es absolutamente continua?

Answer 1

Recuerda el Teorema de Aproximación de Weierstrass: para cada función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, existe una secuencia de polinomios $P_n$ tal que $P_n$ converge uniformemente a $f$ en $[0,1]$.

Por lo tanto, si $P$ es alguna propiedad de una función $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ poseída por todas las funciones polinómicas, entonces cualquier función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ es un límite uniforme de funciones que satisfacen la propiedad $P.

Intenta esto con $P$ siendo la propiedad de absoluta continuidad: si

(1) Cada función polinómica es absolutamente continua en $[0,1]$ y
(2) Cada límite uniforme de funciones absolutamente continuas es absolutamente continua, entonces
(3) Cada función continua en $[0,1]$ sería absolutamente continua.

Te dejo a ti seguir este silogismo y resolver el problema.

Answer 2

Tengo un contraejemplo sobre (3) Cada función continua en [0,1] sería absolutamente continua: La función de Cantor es continua en [0,1] y no es absolutamente continua en [0,1].