Un problema acerca de la convergencia uniforme

Question

$\{f_n\}$ son absolutamente funciones continuas en $[0,1]$, sabemos que si $f_n$ son uniformemente convergente a una función $f$, $f$ es continua.

La pregunta es: es la función de $f$ absolutamente continua?

Answer 1

Recordar la Aproximación de Weierstrass Teorema: para cada función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, hay una secuencia de polinomios $P_n$ tal que $P_n$ converge uniformemente a$f$$[0,1]$.

Por lo tanto, si $P$ es cualquier propiedad de una función de $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ poseída por todas las funciones polinómicas, entonces cualquier función continua $f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ es un límite uniforme de funciones de la satisfacción de la propiedad $P$.

Trate de hacer esto con $P$ la propiedad de continuidad absoluta: si

(1) Toda función polinomial es absolutamente continua en $[0,1]$ y
(2) Cada límite uniforme de funciones continuas es absolutamente continua, entonces
(3) Toda función continua en $[0,1]$ sería absolutamente continuas.

Se los dejo a ustedes para seguir con este silogismo y resolver el problema.

Answer 2

Tengo un contraejemplo acerca de (3)Toda función continua en [0,1] sería absolutamente continua: Cantor funciones es continua en [0,1] y que no es absolutamente continua en [0,1].