¿Son las funciones suaves con soporte compacto débilmente-* densas en $L^\infty$ ?

Question

Mi pregunta es la siguiente: dado $f \in L^\infty(\mathbb{R}^2)$ ¿podemos encontrar una secuencia $\phi_n$ de funciones suaves y compactamente soportadas (funciones de prueba) tales que para cualquier $g \in L^1(\mathbb{R}^2)$ ,

$$\int g \phi_n \rightarrow_n \int g f$$

es decir $\phi_n$ converge débilmente a $f$ en la topología débil * de $L^\infty$ ?

Sé que una fuerte convergencia es cierta para $L^p$ , $p < \infty$ y mal por $p=\infty$ . Sin embargo, parece que si sólo se pide una convergencia débil debería ser cierto incluso en $L^\infty$ ...

No he podido encontrar una referencia para esto, ni en el Análisis Funcional de Rudin ni en el libro de Brezis.

¿Es esto cierto? Si es así, ¿puede alguien proporcionarme una referencia?

Gracias de antemano.

Answer 1

Es cierto. En primer lugar, es fácil ver que existe $\{\phi_n\}$ , tal que para cada $n\ge 1$ , $\phi_n$ cumple las siguientes condiciones: (i) $\phi_n$ es suave y con soporte compacto; (ii) $\|\phi_n\|_\infty\le \|f\|_\infty$ y (iii) $\lim_{n\to\infty} \phi_n=f$ a.e. en $\mathbb{R}^2$ . Entonces la conclusión se desprende directamente del teorema de convergencia dominado.