Encontrar el número más pequeño $n\gt 1$ para el que la suma de los $q$ potencia de sus dígitos es $n$

Question

Hoy me he encontrado con este problema:

Para un número entero dado $q$ , encuentra el número natural más pequeño $n > 1$ tal que la suma de los $q$ de sus dígitos es igual a $n$ .

Por ejemplo, no podemos encontrar ningún número para $q=2$ pero podemos hacerlo por $q=3$ y es $153$ porque $153$ es el menor número tal que $$1^3+5^3+3^3 = 153.$$ Para $q=4$ el más pequeño de tales $n$ es $1634$ .

Intenté encontrar alguna propiedad escribiendo una fuerza bruta muy simple para comprobar todos los números posibles. Además, OEIS no conoce esta secuencia.

¿Hay algún enfoque mejor y más interesante?

Answer 1

Lo que parece ocurrir es que los efectos capilares en presencia de la gravedad crean una situación en la que el corcho que se descentra al máximo en el vaso corresponde a una configuración de energía mínima.

Mi opinión es que el corcho es no mojable y, por lo tanto, rodeado por una superficie de agua que se dobla hacia abajo en la proximidad del corcho, creando así un diminuto aumento global del nivel de agua en la copa. Con el corcho apoyado en el borde de la copa, este aumento del nivel de agua se minimiza.

Si todo esto es correcto, el efecto debería desaparecer si se sustituye el corcho por un material flotante mojado por el agua.

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta, sólo algunas observaciones. Así que nos interesa encontrar el número más pequeño $a$ tal que

$$a=\sum_{i=0}^n a_i 10^i = \sum_{i=0}^n a_i^p,$$

o de forma equivalente

$$\sum_{i=0}^n a_i(10^i-a_i^{p-1})=0.$$ Parece que podríamos usar esta fórmula para hacer algo mejor que la fuerza bruta. En particular, si estamos haciendo una fuerza bruta una vez que hemos encontrado $a_0,\dots,a_{n-1}$ podemos calcular directamente $a_n$ . También hay algunos casos extremos que podrías descartar en función de cuándo $(10^i-9^{p-1})>0$ . También puedes probar varios métodos de aproximación utilizando la fórmula de la suma como función de error.