Número de soluciones a $|ax - bx| = a \;\text{or}\; b$?

Question

Mientras que ver el baloncesto esta noche, me di cuenta de que para 3, 4, y 6, $(6 \times 3) - (4 \times 3) = 18 - 12 = 6$. Pensé que esto era una relación fría y me llevó a la siguiente pregunta:

Para algún entero positivo (mayor que 1), x, ¿cuántos pares de enteros positivos (mayor que 1), a y b, satisfacer $|(ax - bx)| = a$ o $b$. Así que para cualquier x, ¿cuántos pares de satisfacer la ecuación?

Mi intuición me dice que es infinito, no importa qué x que usted elija, pero no puedo pensar en una manera de probar esto.

Gracias!

PS: si se quita el valor absoluto sería una solución más fácil, agregar en el supuesto de que una es mayor que o igual a b.

Answer 1

Supongamos $x$ es no negativo, cosa considerar $-x$.

Supongamos $|ax-bx|=a$, cosa que puede cambiar las funciones de $a$$b$.

Permítanos varían $b$. Está claro que $a$ es no negativo y es un múltiplo de a $x$. De hecho, cualquier positivos $a=kx$ puede ser obtenida mediante el establecimiento $b=a-k$.

Verificar, tenemos $|ax-bx|=|ax-(a-k)x|=|kx|=a$.

Así que el único caso en el que es finito es al $x=0$, la única solución es $a=0$ o $b=0$.