Considere '\ ~ a ser el operador de la división entera, es decir,
$a$ \ $b = \lfloor a / b \rfloor $
¿Hay una fórmula para calcular la siguiente suma:
N \1 + N \2 + N \3 + ... + N \N
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta no es una forma cerrada, pero una caracterización alternativa de esta suma es $$ \sum_ {k=1}^n \lfloor n/k \rfloor = \sum_ {k=1}^nd(k) \tag {1} $$ donde $d(k)$ es el número de divisores de $k$ . Esto se puede ver al notar que $ \lfloor n/k \rfloor $ aumenta en $1$ cuando $k \mid n$ :
$$ \begin {array}{c|cc} \lfloor n/k \rfloor &1&2&3&4&5&6&k \\ \hline\\ 0&0&0&0&0&0&0 \\ 1& \color {#C00000}{1}&0&0&0&0&0 \\ 2& \color {#C00000}{2}& \color {#C00000}{1}&0&0&0&0 \\ 3& \color {#C00000}{3}&1& \color {#C00000}{1}&0&0&0 \\ 4& \color {#C00000}{4}& \color {#C00000}{2}&1& \color {#C00000}{1}&0&0 \\ 5& \color {#C00000}{5}&2&1&1& \color {#C00000}{1}&0 \\ 6& \color {#C00000}{6}& \color {#C00000}{3}& \color {#C00000}{2}&1&1& \color {#C00000}{1} \\ n \end {array} $$ En el cuadro anterior, cada entrada roja indica que $k \mid n$ y cada entrada roja es $1$ más grande que la entrada que está encima de ella. Así, la suma de cada fila aumenta en $1$ para cada divisor de $n$ .
Un simple límite superior viene dado por $$ n( \log (n)+ \gamma )+ \frac12\tag {2} $$ Esto se debe a que tenemos lo siguiente destinado a la $n^ \text {th}$ Número Armónico : $$ H_n \le\log (n)+ \gamma + \frac1 {2n} \tag {3} $$ donde $ \gamma $ es el Constante de Euler-Mascheroni .
Resultados de la investigación
Después de investigar esto un poco, encontré que el Problema del divisor Dirichlet implica estimar el exponente $ \theta $ en la aproximación $$ \sum_ {k=1}^nd(k)=n \log (n)+(2 \gamma -1)n+O \left (n^ \theta\right ) $$ Dirichlet mostró que $ \theta\le\frac12 $ y Hardy mostró que $ \theta\ge\frac14 $ .
No hay una forma cerrada conocida para $(1)$ .
