Dado que parece imposible para hacer que el conjunto de combinaciones lineales de sus elementos, ¿por qué es todavía dependiente?

Question

La clave de respuestas-dice el siguiente conjunto de funciones es linealmente dependiente: $\{5, \cos^2x, \sin^2x\}$.

Sin calcular el Wronskian, yo lo hubiera adivinado que era independiente porque no hay aparentemente ninguna manera se puede formar una combinación lineal de cualquiera de estas funciones para obtener los demás: que no se puede multiplicar $5$ conseguir $\cos x$; usted no se puede multiplicar $\cos x$ conseguir $\sin x$, etc. Lo que está mal con mi razonamiento?

Answer 1

Puede utilizar $\sin^2x+\cos^2x=1$ para formar una combinación lineal de estas tres funciones, que los resultados en $0$.

Answer 2

usted no se puede multiplicar 5 para obtener $\cos x$, por lo que no se puede multiplicar $cos$ conseguir $\sin x$ etc. Lo que está mal con mi razonamiento?

Parece que se acaba de comprobar si alguna de estas funciones es un escalar múltiples de una sola de las demás.

Pero las combinaciones lineales son, en general, las combinaciones - usted necesita considerar las sumas de múltiplos escalares de las funciones. Y como se hace en otras respuestas muestran) hay una manera de conseguir 5 como una suma de múltiplos escalares de $\cos^2 x$$\sin^2 x$: $$ 5 = 5 \cos^2 x + 5 \sin^2 x $$ o, reorganizado en el simétrica, en forma de una dependencia lineal: $$ (-1) \cdot 5 + 5 \cdot \cos^2 x + 5 \cdot \sin^2 x = 0.$$

Answer 3

Sugerencia: $$ 5 \cos^2 x+ 5\sen^2x=5 $$

Answer 4

Ha $-\frac{1}{5}*5+\cos^2(x)+\sin^2(x)=-1+1=0$.