Relaciones canónicas de conmutación

Question

¿Es lógico aceptar la relación de conmutación canónica (RCC)

$$[x,p]~=~i\hbar$$

como postulado de la mecánica cuántica ? ¿O es más correcto derivarla dada alguna forma para $p$ en la base de la posición?

Entiendo que el formalismo de la QM funciona, es sólo que a veces termino pensando en círculos cuando trato de ver dónde están los postulados.

¿Podría alguien darme una explicación clara y lógica de lo que debería tomarse como postulado en este sentido, y una explicación de por qué su punto de vista es el más correcto, en cierto sentido?

Answer 1

Tu carrera en círculos se detendrá una vez que te comprometas con una elección.

Lo que se considera como postulado es siempre una cuestión de elección (por parte de usted o de quien escribe una exposición de los fundamentos). Se parte de un punto en el que el desarrollo es, en cierto sentido, más sencillo. Y uno puede motivar los postulados mediante analogías o lo que sea. Las RCC son un punto de partida simple e independiente de las coordenadas.

Sin embargo, es más sensato introducir el momento como generador infinitesimal de una traslación en el espacio de posición. Este es su significado fundamental y esencial para el teorema de Noether, y tiene la RCC como un simple corolario.

Answer 2

Se puede aceptar como un postulado (en cuyo caso suele ser más conveniente postular el CCR y el CAR para los operadores de creación y aniquilación) o se puede derivar la relación en la base de posición con

$$ \hat x = x \wedge \hat p = -i \hbar \nabla \Rightarrow [ \hat x , \hat p ] = - i \hbar x \nabla + i \hbar + i \hbar x \nabla $$

ya que hay que tomar la regla del producto cuando se aplica $\nabla x$ a una función $f$ .

También se podría obtener por el principio de equivalencia con la mecánica clásica, que dice que $\{ q , p \} = 1$ para los corchetes de Poisson $\{\cdot,\cdot\}$ que están relacionados con el conmutador por un factor de $i \hbar$ . Que este principio de equivalencia se mantiene es visible, por ejemplo, en el Teorema de Ehrenfest .

Answer 3

La elección de los postulados es algo arbitraria en el sentido de que dado un conjunto de postulados casi siempre se puede encontrar un conjunto alternativo. La elección está guiada por criterios subjetivos como la simplicidad, la cercanía a la experiencia o la elegancia teórica.

Sin embargo, hay situaciones en las que algunos postulados/teoremas no tienen sentido. Por ejemplo, $[\hat{x},\hat{p}] = i\hbar$ no tiene sentido en la formulación de Wigner y Moyal de la mecánica cuántica, ni como postulado ni como teorema, porque este La formulación de la mecánica cuántica no utiliza operadores :

La principal ventaja de la formulación del espacio de fase es que hace que la mecánica cuántica se parezca lo más posible a la mecánica hamiltoniana al evitar el formalismo de los operadores, con lo que se "libera" a la cuantización de la "carga" del espacio de Hilbert.

Aunque la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica no utiliza las relaciones de conmutación, todavía se pueden obtener como un teorema cuando se hace la transición del estado general del espacio de fase a la función de onda del espacio de configuración: $W(p,x;t) \rightarrow \Psi(x;t)$ . Precisamente, una derivación explícita de la $[\hat{x},\hat{p}] = i\hbar$ se da en mi documento Mecánica cuántica de espacio de fase definida positiva