Un elemento de un grupo $G$ no es conjugada con su inversa si $\lvert G\rvert$ es impar

Question

Demostrar que si $G$ es un grupo finito de orden impar, entonces no $x\in$$ G $ , other than $ x=1$, es conjugada a su inversa.

Esta pregunta es de Álgebra moderna avanzada (ejercicio 2.79) de Joseph J. Rotman.

La pista indica que si $x$ y $x^{-1}$ son conjugados, cuántos elementos hay en $x^{G}$ ?

Lo que sé hasta ahora:

1. $\left\lvert x^{G}\right\rvert$ es impar (mayor que 1, si no está en el centro) y es un divisor de | $G$ |
2. |Z( $G$ )| tiene un factor común (distinto de 1) con el tamaño de la órbita $\left\lvert x^{G}\right\rvert$ para que el centro no sea sólo la identidad. Esto es de la ecuación de la clase.
3. El centralizador de $x$ tiene el tamaño de impar y $\lvert C_{G}(x) \rvert \cdot \lvert x^{G}\rvert=\lvert G\rvert$

No veo la implicación de $x$ y su inverso siendo conjugados tiene otra cosa que sus órbitas tengan el mismo tamaño y estén en la misma clase de conjugación.

¿Es útil la información que tengo? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Supongamos que $x \neq 1$ es conjugado con $x^{-1}$ . Dejemos que $C(x)$ sea la clase conjugada que contiene $x$ . Si $x = x^{-1}$ entonces $x^2 = 1$ . Por lo tanto, $|G|$ es divisible por $2$ . Esto es una contradicción. Por lo tanto, $x \neq x^{-1}$ . Desde $|C(x)|$ es impar, $C(x)$ contiene $y$ que no es ni $x$ ni $x^{-1}$ . Desde $x$ es conjugado con $y$ , $x^{-1}$ es conjugado con $y^{-1}$ . Por lo tanto, $y^{-1} \in C(x)$ . Desde $y \neq y^{-1}$ debemos concluir que $|C(x)|$ es par. Esto es una contradicción.

Answer 2

Su punto 1. es muy útil. No creo que necesite los otros puntos; así es como yo procedería:

Intente enumerar los elementos de $x^G$ . Bueno, sabemos que $x$ está ahí, y $x^{-1}$ . Si estos dos son distintos, entonces sabemos que no son el sólo dos, porque nos dijo que $|x^G|$ era impar. Así que algunos $y$ también está ahí. Pero ahora qué pasa con $y^{-1}$ ?

¿Se te ocurre una buena razón por la que $x$ y $x^{-1}$ son distintos?

Answer 3

$|G|$ es impar implica que ningún elemento (que no sea 1) tiene orden par. Supongamos que $x$ conjugado a su inverso, entonces $x=g(gx)^{-1}$ implica $gx=g^2(gx)^{-1}$ por lo que obtenemos que $g^2=1$ se encuentra una contradicción.