$X^2 + X =A$ $X, A\in \text{Mat}_{2,2} (\mathbb{R})$ . Mostrar que existe una solución de $X$ para un determinado $A$

Question

Demostrar la siguiente declaración:

Existe una $\epsilon > 0$ de manera tal que el siguiente se tiene:

Si $A = (a_{ij}) \in \text{Mat}_{2,2} (\mathbb{R})$ una matriz con $(|a_{ij}|) < \epsilon$$i,j \in \{1,2\}$, entonces la siguiente ecuación

$$X^2 + X = A$$

tiene una solución $X \in \text{Mat}_{2,2} (\mathbb{R})$

Mi Idea sobre la forma de resolver esto:

Deje que $X = \begin{bmatrix} v& w \\ x & y \end{bmatrix}$. Por lo tanto $X^2 + X = \begin{bmatrix} v^2 + v + w x& v w + w y + w\\ v x + x y + x & w x + y^2 + y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_0 & a_1 \\ a_2 & a_3\end{bmatrix}$

Permite definir la función $$ 0=h(v,w,y,x,a_0,a_1,a_2,a_3) =\begin{cases} v^2 + v + w x - a_0 \\ v w + w y + w - a_1\\v x + x y + x -a_2 \\w x + y^2 + y-a_3 \end{casos} $$

Ahora podemos calcular la derivada de $h$:

$$dh = \begin{bmatrix} 2v + 1 & x & 0 & w & -1&0&0&0\\ w& v+y+1& w& 0& 0&-1&0&0\\ x & 0&x&v +1 & 0&0&-1&0 \\0&x&2y+1&w& 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$$

La idea ahora sería aplicar el teorema de la función implícita y de mostrar que existe una $X$ que resuelve esta ecuación. No estoy seguro de si este enfoque es correcto.

Por último, pero no menos importante.. esta pregunta viene de un análisis de la hoja, así que yo supongo que uno debe usar los métodos de análisis para resolverlo.

Es mi enfoque de la manera correcta? Y ¿cómo proceder a partir de aquí?

Siéntase libre de utilizar otro método.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Alternativamente, (pero esencialmente equivalente) para el análisis orientado a la respuesta, usted puede en lugar de calcular los derivados más intrínsecamente: Considerar el mapa $$f:M_n \times M_n \to M_n$$ $$(A,X) \mapsto X^2+X-A.$$ El derivado $D_{2,(A,X)}f$ (es decir, con respecto a la segunda coordenada*) está dada por $$H \mapsto XH+HX+H.$$ Si $(A,X)=(0,0)$, entonces esta es, simplemente,$H \mapsto H$, un isomorfismo (la identidad! Nótese la similitud con la otra respuesta que he mencionado), y el resultado se sigue del teorema de la función implícita. (Trivial, pero debe ser mencionado: tenga en cuenta que $f(0,0)=0$).

Posiblemente más simple es el enfoque mencionado en los comentarios: sólo considerar $$f: M_n \to M_n$$ $$X \mapsto X^2+X.$$ La derivada de este mapa es $H \mapsto XH+HX+H$, que en el cero es $H \mapsto H$, un isomorfismo (de nuevo, la identidad) y, a continuación, el resultado se sigue del teorema de la función inversa. De nuevo, cabe mencionar que la $f(0)=0$.

"Podría decirse que" lo más sencillo debido a que los enfoques son moralmente y prácticamente equivalentes.

*Si esto no es claro, para ser explícitos: $D_{2,(A,X)}f$ es la derivada de la mapa de $Y \mapsto f(A,Y)$$X$.

Answer 2

A mi manera de atacar este problema utiliza algunos de álgebra, y algunos análisis; además, no hay nada en la siguiente, que requiere que nos limitamos a $M_2(\Bbb R)$, el conjunto de $2 \times 2$ real matrices; todo lo que digo se aplica por igual a $M_n(\Bbb R)$.

En primer lugar, algunos de álgebra: la ecuación

$X^2 + X = A \tag 1$

tiene una solución $X$ algunos $A$ si y sólo si, la ecuación

$X^2 + X + \dfrac{1}{4} I = \dfrac{1}{4}I + A \tag 2$

tiene la misma solución de $X$ así; también, ya que

$(X + \dfrac{1}{2}I)^2 = X^2 + X + \dfrac{1}{4}I, \tag 3$

podemos escribir (2) como

$(X + \dfrac{1}{2}I)^2 = \dfrac{1}{4} I + A, \tag 4$

que tiene una solución precisamente cuando existe una matriz $C$ tal que

$C^2 = \dfrac{1}{4}I + A, \tag 5$

en el que caso de que podamos tomar

$X + \dfrac{1}{2} I = C, \tag 6$

o

$X = C - \dfrac{1}{2}I. \tag 7$

El lector informado en las maquinaciones de la escuela secundaria de álgebra reconocerá el proceso sobre como completar el cuadrado de la polinomio $X^2 + X$.

El análisis precedente indica que necesitamos para resolver la cuestión de la existencia de $C$ satisfactorio (5) cuando las entradas de $A$ son suficientemente pequeñas. Para ello recurrimos a las herramientas de análisis. Considerar la asignación de

$B \mapsto B^2 \tag 8$

definido en un barrio de $\frac{1}{2}I$; para cualquier lineal mapa de $H$ hemos

$(B + H)^2 = B^2 + HB + BH + H^2, \tag 9$

de dónde

$(B + H)^2 - B^2 - (HB + BH) = H^2, \tag{10}$

de dónde

$\Vert (B + H)^2 - B^2 - (HB + BH) \Vert = \Vert H^2 \Vert \le \Vert H \Vert^2; \tag{11}$

desde el lado derecho de (11) es de la de $\Vert H \Vert o(\Vert H \Vert)$, nos encontramos con que el derivado $DB^2$ cualquier $B$ es el lineal mapa

$DB^2(H) = HB + BH; \tag{12}$

con

$B = \dfrac{1}{2}I, \tag{13}$

(12) se convierte en

$DB^2(H) = H \left (\dfrac{1}{2}I \right ) + \left (\dfrac{1}{2}I \right ) H = H, \tag{14}$

es decir, $DB^2$ es la asignación de identidad cuando (13), que se une. Ahora podemos invocar a esa poderosa herramienta de análisis, el teorema de la función inversa, para inferir que hay un barrio $U$ $\frac{1}{4}I$ y continuamente una función derivable

$S:U \to M_n(\Bbb R), \; S \left ( \dfrac{1}{4} \right ) = \dfrac{1}{2}, \tag{15}$

la satisfacción, por cada $E \in U$,

$(S(E))^2 = E; \tag{16}$

es decir, $S$ es un eficaz raíz cuadrada de $U$.

La hipótesis de colocar sobre las $A$, $\vert a_{ij} \vert < \epsilon$ todos los $i, j$, nos permite concluir que para $\epsilon$ suficientemente pequeño

$\dfrac{1}{4} I + A \in U; \tag{17}$

por lo tanto podemos tomar

$C = S \left (\dfrac{1}{4}I + A \right ); \tag{18}$

entonces

$C^2 = \dfrac{1}{4}I + A, \tag{19}$

y con $X$, como en (7) tenemos una solución para (1).

Answer 3

Este es un sketch acerca de cómo hacerlo a partir de una "pura álgebra lineal enfoque".

Caso 1: supongamos que $A$ tiene dos autovalores, entonces existe un cambio de base de a $B\in \Bbb R^{2\times 2}$ tal que $A_B:=BAB^{-1}$ es triangular superior.

Entonces es suficiente para demostrar que existe una triangular superior $X_B\in \Bbb R^{2\times 2}$ tal que

$$X^2_B+X_B=X_B(X_B+I)=A_B\tag1$$

para el adecuado $\epsilon>0$.

Caso 2: supongamos que $A$ tienen dos no-real de los autovalores, entonces existe un cambio de base de a $B\in \Bbb R^{2\times 2}$ tal que $A_B$ tiene la forma $\left[\begin{smallmatrix}a&-b\\b&a\end{smallmatrix}\right]$. Entonces es suficiente para demostrar que existe algo de $X_B\in \Bbb R^{2\times 2}$ con el mismo de forma tal que $(1)$ mantiene para algunos adecuado $\epsilon>0$.

---

Los cálculos de las ecuaciones lineales definidos después de estos cambios de base, son muy fáciles de manejar y la prueba es sencilla.

Answer 4

Mi mente simple.

Si $X^2 + X = A$ entonces $X^2 + X+\frac14 I = A+\frac14 I$ así $(X+\frac12 I)^2 =Un+\frac14 I$.

A continuación, utilice el método de que hace referencia Dietrich Burde para encontrar $\sqrt{A+\frac14 I}$ y a continuación, obtener $X$.

Answer 5

Identificar la matriz $X=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{pmatrix}$ con el vector $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}.$

La asignación de $X^2 + X$ es equivalente a la siguiente asignación de $\mathbb{R}^4$ $\mathbb{R}^4$

$$ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \ f(x) = \begin{pmatrix} x_1^2 + x_2x_3+x_1\\ x_1x_2+x_2x_4+x_2\\ x_3x_1 + x_3x_4+x_3\\ x_3x_2+x_4^2 +x_4\\ \end{pmatrix} . $$

La matriz Jacobiana $f'(x)$ es una función continua de $x$ y está dada por $$ \begin{pmatrix} 2x_1+1 & x_3 & x_2 & 0\\ x_2 & x_1+x_4+1& 0 & x_2\\ x_3 & 0 & x_1 + x_4 + 1 & x_3 \\ 0 & x_3 & x_2 & 2x_4 + 1\\ \end{pmatrix}. $$

Si $\mathbf{0}$ denota el vector cero, entonces es fácil ver $f'(\mathbf{0})$ es la matriz identidad, y por la continuidad de ello se sigue que existe un conjunto abierto, $U$ que contiene el origen de la cual, $f'(x)$ es invertible, y por lo tanto sigue (Apostal análisis Matemático, 13.5 por ejemplo) que $f$ es una asignación abierta en $U$, y, en particular, la imagen de $U$ contiene una lo suficientemente pequeña bola alrededor de $f(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$

Por lo $[ -\epsilon, \epsilon]^4 $ se encuentra en la imagen de $U$ suficientemente pequeño $\epsilon > 0$ y el resultado de la siguiente manera.