Teorema del residuo: Evaluar la integral $\int_\pi^{3\pi} \frac {dx}{5\cos x+13}$

Question

Evalúa la integral utilizando el Teorema del Residuo. $$\int_\pi^{3\pi} \frac {dx}{5\cos x+13}$$

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El teorema del residuo hace que me duela la cabeza. Para empezar, tengo muchos problemas con las series de Laurent. ¡Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

El enfoque para evaluar esta integral utilizando la integración de contornos es clásico. Comienza con la sustitución $z=e^{i x}$ lo que implica $dx=\frac{1}{iz}\,dz$ . El dominio de integración se transforma de $x\in [\pi,3\pi]$ a una integral en el círculo unitario $|z|=1$ .

Procediendo como se ha comentado, podemos escribir

$$\begin{align} \int_\pi^{3\pi}\frac{1}{5\cos(x)+13}\,dx&=\oint_{|z|=1}\left(\frac{1}{5\left(\frac{z+z^{-1}}{2}\right)+13}\right)\,\frac{1}{iz}\,dz\\\\ &=\frac2i \oint_{|z|=1}\frac{1}{5z^2+26z+5}\,dz\\\\ &=\frac2i \oint_{|z|=1}\frac{1}{(5z+1)(z+5)}\,dz\\\\ &=2\pi i \left(\frac2i\right)\text{Res}\left(\frac{1}{(5z+1)(z+5)},z=-1/5\right)\\\\ &=\frac{\pi}{6} \end{align}$$

Answer 2

Aprovechando la simetría y el teorema del residuo tal integral es bastante simple de abordar.
Primero la simetría: $$ \int_{\pi}^{3\pi}\frac{dx}{5\cos x+13}=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{dx}{13+5\cos(x)} = 2\int_{0}^{\pi}\frac{dx}{13+5\cos x}\\ = 2\int_{0}^{\pi/2}\frac{26}{13^2-5^2\cos^2 x}\stackrel{x\mapsto \arctan t}{=} 54\int_{0}^{+\infty}\frac{dt}{13^2(1+t^2)-5^2} $$ y el problema se reduce a la informática:

$$ 26\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{12^2+13^2 t^2} = 26\cdot(2\pi i)\cdot\text{Res}\left(\frac{1}{12^2 + 13^2 t^2},t=\frac{12}{13}i\right)$$ o: $$ 26\cdot(2\pi i)\cdot\left(-\frac{i}{312}\right) = \frac{54 \pi}{312} = \color{red}{\frac{\pi}{6}}.$$