determinar si existe quórum.

Question

Si uno tiene un polinomio de una variable, entonces el discriminante puede ser utilizado para probar si el polinomio tiene raíces repetidas o, equivalentemente, donde el polinomio y su derivada tiene una raíz repetida. Ahora, Si miro a un host de hyper-superficie (digamos, el ajuste a cero de algunos ecuación polinómica $F(x_1,\cdots,x_n)=0$), entonces existen polinomios en los coeficientes de $F$ que me dice que si la variedad contiene singular puntos?

Answer 1

Deje $F$ ser un polinomio homogéneo. No es un polinomio $\Delta$, en los coeficientes de $F$, que se desvanece precisamente cuando la proyectiva hipersuperficie $F=0$ es singular. Este polinomio se llama el "$A$-discriminante", un término que es, por desgracia imposible de google.

La mayoría de las referencias en este va a querer estudiar el caso de una hipersuperficie en general tóricas de variedad, que van a codificar por un conjunto finito $A$ de celosía puntos. Para ayudarle a orientarse: Clásica homogénea polinomios corresponden a proyectiva del espacio. Si $F$ es homogénea de grado $d$ $n$ variables, entonces el conjunto $A$ es $$\left\{ (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{Z}^n : a_i \geq 0 \ \mbox{and} \ \sum a_i = d \right\}.$$

Por desgracia, no conozco a una simple descripción de la $A$-discriminante para darle a usted, y sé que la computación ellos es bastante difícil que se utiliza como punto de referencia para los sistemas de álgebra computacional. Creo que probando si el ideal generado por a $F$ y sus derivadas parciales es irrelevante (utilizando, por ejemplo, Macaulay II) debería ser mucho más fácil de calcular la correspondiente $A$-discriminante. Pero yo no soy un experto en el cómputo de los aspectos prácticos.

El estándar de referencia es

I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A.V. Zelevinsky: Discriminantes, Como resultado, Multidimensional y Determinantes; Birkauser, Boston, MA, 1994.

Si alguien sabe de un más breve, más accesible referencia, por favor, edite esta respuesta o dejar un comentario.