Si uno tiene un polinomio de una variable, entonces el discriminante puede ser utilizado para probar si el polinomio tiene raíces repetidas o, equivalentemente, donde el polinomio y su derivada tiene una raíz repetida. Ahora, Si miro a un host de hyper-superficie (digamos, el ajuste a cero de algunos ecuación polinómica $F(x_1,\cdots,x_n)=0$), entonces existen polinomios en los coeficientes de $F$ que me dice que si la variedad contiene singular puntos?
Respuesta
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Deje $F$ ser un polinomio homogéneo. No es un polinomio $\Delta$, en los coeficientes de $F$, que se desvanece precisamente cuando la proyectiva hipersuperficie $F=0$ es singular. Este polinomio se llama el "$A$-discriminante", un término que es, por desgracia imposible de google.
La mayoría de las referencias en este va a querer estudiar el caso de una hipersuperficie en general tóricas de variedad, que van a codificar por un conjunto finito $A$ de celosía puntos. Para ayudarle a orientarse: Clásica homogénea polinomios corresponden a proyectiva del espacio. Si $F$ es homogénea de grado $d$ $n$ variables, entonces el conjunto $A$ es $$\left\{ (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb{Z}^n : a_i \geq 0 \ \mbox{and} \ \sum a_i = d \right\}.$$
Por desgracia, no conozco a una simple descripción de la $A$-discriminante para darle a usted, y sé que la computación ellos es bastante difícil que se utiliza como punto de referencia para los sistemas de álgebra computacional. Creo que probando si el ideal generado por a $F$ y sus derivadas parciales es irrelevante (utilizando, por ejemplo, Macaulay II) debería ser mucho más fácil de calcular la correspondiente $A$-discriminante. Pero yo no soy un experto en el cómputo de los aspectos prácticos.
El estándar de referencia es
I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A.V. Zelevinsky: Discriminantes, Como resultado, Multidimensional y Determinantes; Birkauser, Boston, MA, 1994.
Si alguien sabe de un más breve, más accesible referencia, por favor, edite esta respuesta o dejar un comentario.
