Encontrar el punto en el espacio 3D basado en el avión y el punto conocido

Question

Yo estoy luchando con el dibujo de la geometría en 3D de espacios a través de OpenGL. Mi actual tarea es encontrar las coordenadas del punto.

Supongamos que tenemos tales datos de entrada:

1. Puntos $a$, $b$ y $k$ definen un plano.
2. Punto de $c$ pone en plano definido con $a$, $b$ y $k$.
3. El ángulo entre el $ab$ $bc$ $\beta$ (color amarillo en la imagen).
4. La longitud de la $bc$ es de un valor conocido.

¿Cómo puedo encontrar las coordenadas de $c$?

Answer 1

Inténtelo:

Recordemos que $cb= B-C$, $ab=B-A$ y $ak=K-A$.

Deje $\lambda$ $\mu$ números reales tales que: $$cb=\lambda (ab)+ \mu (ak)$$

Definir: $$\theta_2 = \arccos ( \frac{\langle bk, ba\rangle}{\|bk \| \|ba \|})$$ $$p_1=\|cb\|\|ab\| \cos \beta$$ $$p_2=p_1+\|cb\|\|bk\| \cos (\pi- (\theta_2 + \beta))$$ $$D = \begin{array}{|cc|} \langle ab,ab \rangle & \langle ak,ab \rangle \\ \langle ak,ab \rangle & \langle ak,ak \rangle \\ \end{array}$$

$$D_{\lambda} = \begin{array}{|cc|} p_1 & \langle ak,ab \rangle \\ p_2 & \langle ak,ak \rangle \\ \end{array}$$

$$D_{\mu} = \begin{array}{|cc|} \langle ab,ab \rangle & p_1 \\ \langle ak,ab \rangle &p_2 \\ \end{array}$$

Calcular el $\lambda$$\mu$:

$$\lambda=\frac{D_{\lambda}}{D}$$ $$\mu=\frac{D_{\mu}}{D}$$

Un posible punto de $C$ puede ser determinada por: $$C=B-\lambda(ab)-\mu(ak)$$

Answer 2

Usted necesita encontrar las coordenadas $c_x,c_y,c_z$ que satisfacer

$$\left|\begin{matrix}1&c_x&c_y&c_z\\1&a_x&a_y&a_z\\1&b_x&b_y&b_z\\1&k_x&k_y&k_z\end{matrix}\right|=0,$$

$$(a_x-b_x)(c_x-b_x)+(a_y-b_y)(c_y-b_y)+(a_z-b_z)(c_z-b_z)=rd\cos\beta,$$

$$(c_x-b_x)^2+(c_y-b_y)^2+(c_z-b_z)^2=r^2,$$

donde $d$ es la distancia entre el$a$$b$, que puede ser fácilmente calculada, y $r$ es la distancia entre el$b$$c$, es decir, la longitud de la $bc$. La primera ecuación se asegura de que el punto de $c$ se encuentra en el plano definido por $a$, $b$ y $k$, la segunda ecuación nos da el ángulo recto entre $ab$$bc$, y la tercera ecuación es necesaria para satisfacer la restricción de distancia. No sé si hay una simple solución analítica de este sistema, pero de una solución numérica puede ser bastante fácil de obtener, en mathematica, por ejemplo.