Suma de secuencias de Cauchy es de Cauchy en un Abelian Topológico Grupo

Question

Deje $G$ ser un topológico abelian grupo y supongamos $0$ tiene una contables sistema fundamental de vecindades. Deje $(x_n),(y_n)$ ser secuencias de Cauchy de $G$. ¿Por qué es cierto que $(x_n+y_n)$ es una secuencia de Cauchy?

He intentado generalizar el caso de real de secuencias: mi problema es que si $U$ es un barrio de $0$, entonces yo tendría que usar algo como $\frac{1}{2} U$, pero obviamente esto no tiene sentido.

También miraba a esta pregunta pertinente Suma de Cauchy Secuencias de Cauchy? sin embargo no fue muy útil, ya que se refiere a la métrica topológica de los grupos.

Gracias.

Answer 1

Se tenía la idea correcta, así que permítanme explicar el argumento con el fix que he sugerido en los comentarios:

Supongamos que para cada $0$-vecindario $U$ no es un porcentaje ($0$- vecindario $V$ tal que $V + V \subset U$. Desde $(x_n)$, e $(y_n)$ son de Cauchy, no es $N$ tal que $x_n - x_m \in V$ $y_n - y_m \in V$ todos los $m,n \geq N$ y, por tanto, $(x_n+y_n)-(x_m+y_m) = (x_n-x_m)+(y_n-y_m) \in V+V \subset U$ todos los $m,n \geq N$, mostrando que el $(x_n+y_n)$ es de Cauchy.

A ver que nuestra hipótesis es la verdad, se puede argumentar de la siguiente manera: Desde la incorporación de mapa de $a\colon G \times G \to G, (g,h) \mapsto g+h$ es continua, sabemos que $a^{-1}(U) \subset G \times G$ está abierto. También, $(0,0) \in a^{-1}(U)$, por lo que hay abierto $0$-barrios, $V_1, V_2 \subset G$ tal que $V_1 \times V_2 \subset a^{-1}(U)$ por la definición de la topología producto. Ahora $V = V_1 \cap V_2$ $0$- barrio tal que $V + V \subset U$, ya que el $V \times V \subset V_1 \times V_2 \subset a^{-1}(U)$.