El tipo de argumento que describes es una gran motivación para la definición de un función continua . Un resultado básico que capta el espíritu de lo que quieres es el siguiente: una función continua $f : X \to Y$ entre espacios topológicos está determinada por sus valores en un subconjunto denso de $X$ . En particular, una función continua $f : \mathbb{R} \to Y$ está determinada por sus valores en los racionales. Esto da lugar a la siguiente intuición:
Cualquier afirmación "suficientemente continua" que se pueda demostrar para los racionales debería ser cierta para todos los números reales.
El resultado anterior no se aplica directamente a esta situación, al menos no de forma directa: por un lado, sabiendo que la función $x^q$ existe para $q$ racional no es suficiente para concluir inmediatamente que una función llamada $x^r$ incluso existe y mucho menos que sea continua o diferenciable. Pero sigue siendo una motivación importante para sospechar que tal cosa debería ser cierta de todos modos.
Para $x \ge 0$ es un ejercicio estándar en el análisis real para demostrar que podemos definir
$$x^r = \lim_{n \to \infty} x^{q_n}$$
donde $q_n$ es cualquier secuencia de números racionales que tiende a $r$ . Además, esta función satisface todas las identidades algebraicas esperadas, etc. Pero todavía no es del todo trivial ver que $x^r$ es diferenciable para un real arbitrario $r$ hasta que demuestre las propiedades básicas de los logaritmos y las exponenciales, tras lo cual sabrá que
$$x^r = e^{r \log x}.$$
Una vez que sabes esto, estás en el dinero: el compuesto de funciones diferenciables es diferenciable, y todo funciona exactamente como esperas por la regla de la cadena.
Uno podría estar tentado a argumentar lo siguiente: seguramente si la función $x^r$ es un límite de una secuencia de funciones $x^{q_n}$ entonces la derivada de la función $x^r$ es un límite de la secuencia de derivadas $q_n x^{q_n-1}$ . Pero este argumento no es tan sencillo de formalizar. En primer lugar, hay varias nociones de convergencia de una secuencia de funciones: hay convergencia puntual sino también la convergencia con respecto a varios normas y uno debe decidir qué noción es sensata aquí. En segundo lugar, incluso si se toma una definición bastante restrictiva de la convergencia (digamos convergencia uniforme ), sigue siendo falso en general que un límite uniforme de funciones diferenciables es diferenciable (ver Función de Weierstrass ).
Se necesita el restricción adicional que las propias derivadas también convergen uniformemente. Ahora, las derivadas $q_n x^{q_n-1}$ no convergen uniformemente a $rx^{r-1}$ en $\mathbb{R}_{\ge 0}$ (supongamos provisionalmente que sólo nos importa $r > 1$ ), pero convergen a $rx^{r-1}$ uniformemente en los intervalos $\left[ \frac{1}{k}, k \right]$ para todos $k \in \mathbb{N}$ (decir). Creo que es suficiente para obtener este resultado sin tener que pasar por logaritmos y exponenciales, pero no lo he comprobado.
