$S=1+10+100+100+10000+... = -1/9$? Cómo es que

Question

su escrito que si se multiplica la suma anterior por -9 y el uso de la distributiva de la ley, todos los términos excepto en "1" para cancelar. Yo no puedo ver eso. Sé que esta es una divergente la serie. (el artículo que estaba leyendo era un laico de introducción a la zeta de regularización)

Del mismo modo, cómo es $S=1+2+3+4... = -1/12$

Si la serie fuera a terminar en algún lugar, yo no veo el valor de estas. Esto es completamente incomprensible para mí.

El uso de $\frac{1}{1-x}$ puedo poner x=10, pero eso no es justo, ¿no?

Answer 1

Esto no se cumple para los números reales, los números que probablemente se utiliza para trabajar con. Más bien se trabaja con un tipo diferente de número, llamado p-ádico número. Voy a llegar a lo que son en un momento.

Pero primero, ¿qué es un número? Uno podría estar tentado a dar ejemplos, tales como $1$ o $-3/4$. Pero estos son sólo símbolos, que no tienen significado propio. Más bien, los matemáticos han definido de un modo en que todos están de acuerdo, que les permite ser añadido, multiplicado, etc. Es mediante la definición de ellos que les dé sentido.

Pero, ¿por qué hemos de definir la forma en la que hacemos? Podríamos definir fácilmente en otras formas; lo que pasa es que la típica definición es a menudo la más útil. Pero esto no es siempre el caso. El p-ádico números son una forma diferente de la definición de "número".

Para explicar, voy a tomar el caso especial de 10-ádico enteros, que es donde la ecuación se están preguntando sobre los que se aplica. Los enteros normales son lo que estamos acostumbrados a usar a diario, y si tomamos dos números enteros $a$ $b$ podemos hablar de la "cercanía" $a$$b$. Específicamente, podemos decir que $a$ es "cercano" a $b$ si se diferencian por una pequeña potencia de diez, es decir, $40$ es una especie de cierre a $30$ porque $40-30=10=10^1$ mientras $4$ está muy cerca de a $3$ porque $4-3=1=10^0$ (el mismo proceso funciona para los números que no se distinguen por una potencia entera de diez si permitimos que no enteros, potencias). Pero, ¿por qué hemos de definir la "cercanía" de esta manera? Lo que si nos dice $a$ está cerca de a $b$ si se distinguen por una gran potencia de diez? Por ejemplo, $40,000$ sería una especie de cierre a $30,000$ porque $40,000-30,000=10,000=10^4$, mientras que $4,000,000$ estaría muy cerca de $3,000,000$ porque $4,000,000-3,000,000=1,000,000=10^6$. Si definimos la "cercanía" de esta manera, obtenemos el 10-ádico enteros.

Ahora para la serie que has publicado. Multiplicando a ambos lados por $9$ da $9+90+900+9000+90000+… = -1$. Así, podemos ver que esto nos está dando $\cdots999999 = -1$, con un número infinito de $9$'s a la izquierda. Pero $9-(-1)=10=10^1$, $99-(-1)=100=10^2$, etc. así que al agregar más $9$'s hacia la izquierda estamos acercando más y más a $-1$, utilizando la forma en que hemos definido como "cercanía" para el 10-ádico enteros. De hecho, tenemos infinitamente cerca de $-1$, por lo que esta serie debe ser igual a $-1$ en el 10-ádico enteros. Si bien este no es un argumento riguroso, espero que te ofrece un áspero sentido de lo que está pasando.

Edit: Atar en lo que Ross dijo en su respuesta, la razón por la fórmula $1/(1-10) = 1 + 10 + \cdots$ trabaja en el 10-ádico números enteros es que cada una de las sucesivas plazo está acercando a cero usando la 10-ádico noción de "cercanía", por lo que puede en el hecho de ignorar lo suficientemente finales de los términos.

Answer 2

Hay muchas fórmulas que caen en esta categoría. La suma no es convergente, pero se puede hacer una manipulación formal que parece de suma. Tal vez la más sencilla es 1-1+1-1+1-1 ... Si la representan como $\sum (-1)^i$ se puede resumir como $\frac {1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$. Esto es exactamente en el espíritu original de su comentario "el Uso de $\frac{1}{1−x}$ puedo poner a $x=10$, pero eso no es justo, ¿no?" No, no es justo, ya que la serie no es convergente en el habitual sistema numérico real, y como el p-ádico números no son "normales" usted debe alertar a sus lectores, cuando usted los usa. El poder formal de la serie de manipulación que lleva a la suma de la serie geométrica cancela todos los términos intermedios bien, pero el último término no vaya a cero, por lo que usted no puede ignorar.

Answer 3

Recomiendo este post en Terry Tao del blog. No es primaria, sino que puede ser entendido por alguien con conocimiento del cálculo de un real varable.

Answer 4

Esta fórmula es justificado por la continuación analítica (así que usted puede, de hecho enchufe en x=10 en $\frac{1}{1-x}$). Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_4_%2B_8_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7

http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7%C2%B7%C2%B7

La relación p-adics es bastante simple: $\frac{1}{1-x} - (1+x+x^2+\ldots +x^n)= x^{n+1}(1+x+\ldots)$, para comparar los dos desea que la diferencia para llegar pequeña, lo cual es cierto tanto para los números reales al $x<1$ o de los p-apics al $x=p$.

Answer 5

para su $1+2+3+4+...=-1/12$ este es el valor de $\zeta(-1)$, la de riemann zeta función en $-1$. así que, aunque no es una igualdad, como está escrito, la definición generalmente se administra como $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$ que sólo converge para real $s$ mayor que 1. sin embargo, se puede continuó el resto del avión (con un polo en 1).