Respecto a la ecuación de Poisson en el dominio $\Omega = [-1,1]^n$ $f \in H^{-1}$
$- \triangle u = f$
con Neumann homogéneas las condiciones de contorno. De estándar de la regularidad de la teoría la conocemos $u \in H^1$. Vamos ahora a echar un vistazo en la formulación del problema en el análisis numérico. Para cualquier función de prueba de $v \in H^1$ hemos
$-\int_{\Omega} \operatorname{div} \operatorname{grad} u \cdot v = -\int_{\Omega} \operatorname{div} (\operatorname{grad} u \cdot v) + \int_{\Omega} \operatorname{grad} u \cdot (\operatorname{grad} v)$.
$= -\int_{\partial\Omega} n \circ (\operatorname{grad} u \cdot v) + \int_{\Omega} \operatorname{grad} u \cdot (\operatorname{grad} v) = \int_{\Omega} \operatorname{grad} u \cdot (\operatorname{grad} v)$
En el común de Galerkin método que elegimos una serie de finito dimensionales subespacios que se define en función de un triangultation del dominio $\Omega$. Estos pueden ser los nodewise sombrero de funciones. A continuación, creamos una combinación lineal de sombrero de funciones, de tal manera que la ecuación anterior se mantiene.
Pero nosotros hacemos uso de la débil formulación de todos modos? Tener reduce los grados de libertad para afirmar que nuestra discreta solución de $u_h$ cumple con las condiciones de frontera, no parece persistir una razón para centrarse en la débil formulación más. Pero así es el caso en la literatura.
Un problema que un directo de discretización de
$Lu = f$
incluyendo las condiciones de contorno pueden ser de un determinado sistema. ¿Por qué este enfoque directo, no se trata (aunque sólo para ser descartadas) en la literatura?
