El curioso caso de el tiempo derivado de la expectativa de valor de la posición

Question

Después de haber definido la expectativa de valor de posición de la siguiente manera $$ \langle x \rangle = \int x {\lvert\Psi(x,t)\rvert}^2dx $$ El tiempo derivado de la expectativa de valor se deriva, en mi literatura, de la siguiente manera:

$$ \frac{d\langle x \rangle }{dt} = \int x\partial_t{\lvert\Psi\rvert}^2dx = \ldots $$

A partir de aquí es sencillo el álgebra y el cálculo de la respuesta.
$$ \frac{d\langle x \rangle }{dt} = \frac{-i\manejadores}{2m}\int\overline{\Psi}\partial_x\Psi dx $$ Lo que me parece extraño es el hecho de que el autor no escribe

$$ \frac{d\langle x \rangle }{dt} = \int \partial_t\left(x\lvert\Psi\rvert^2dx\right) $$

De alguna manera, la posición $x$ es tratado como una constante. No hay ninguna explicación de por qué este es el caso. Desde arriba, $x$ es de alguna manera inmutable en el tiempo y lo único que altera la expectativa de valor es la función de onda. Este podría ser el caso, pero entonces ¿cuál es la interpretación de $x$?

¿Por qué no $x$ variar en el tiempo?

Answer 1

Porque en QM, la función de onda contiene toda la información relevante, y $x$ es la coordenada parámetro.

Usted está esperando $x$ a ser dependiente en el tiempo, ya que están acostumbrados a ver como la partícula de coordenadas, es decir, en función del tiempo que dice que cuando la partícula se para cada vez que el valor del parámetro.

Pero aquí, $\psi$ dispone de esta información, y $x$ es sólo el valor del parámetro para el que desea evaluar las probabilidades de encontrar a la partícula. Por lo $x$ no es la posición de la partícula en el sentido de que es una función de la hora de dar la posición de la partícula; es sólo otro parámetro en el que $\psi$ depende.

Esto es similar a la onda de la mecánica, en el sentido de que el uso de $x$ como una variable en el que la función de la forma de onda, depende de, pero no es un particular de coordenadas de la onda, es solo una coordenada del espacio donde la onda existe.

Answer 2

La posición $x$ no es una variable, es un operador en la mecánica cuántica. Al igual, no siempre es necesario pensar en un estado cuántico como está dada por una función de onda $\psi(x)$, ni es necesario para expresar la teoría de la dependencia de tiempo por escribir $\psi(x,t)$.

En resumen la notación de Dirac, la expectativa de valor de posición en un estado de $\lvert\psi\rangle$ es $$ \langle x \rangle = \langle\psi\rvert x \lvert\psi\rangle$$ y si quieres saber su dependencia de tiempo, usted tiene que decidir si se mira la dependencia del tiempo en la imagen de Schrödinger, donde escribimos la dependencia del tiempo de la teoría en los estados $\lvert\psi(t)\rangle = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}Ht}\lvert\psi(0)\rangle$ y los operadores son constantes en el tiempo, o en la imagen de Heisenberg, donde los estados son independientes del tiempo y de la dependencia en los operadores como $A(t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}A(0)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Ht}$.

Enchufar, vemos que, en ambos casos, la dependencia del tiempo de la expectativa de valor es $$ \langle x \rangle (t) = \langle \psi(0) \rvert \mathrm{e}^{\mathrm{i}Ht}A(0)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Ht}\lvert \psi(0)\rangle$$ y si usted dice que es la posición del operador que varía o que el estado (o una mezcla) es una cuestión de gusto.