Mágico de los Dados Cargados y valores esperados

Question

Supongamos que tenemos un mágico sesgada de morir, que nos permite establecer la probabilidad de cada lado a lo que queramos (distinto de cero y agregar hasta 1, por supuesto). Digamos que morir impone la condición de que el valor de cada rollo debe estar entre 1 y previousRoll + 1.

Lo que el sesgo en los lados para mantener el valor esperado (media de más de un gran número de rollos) de 3,5, el mismo como un proceso imparcial que no es mágico morir?

Más interesante aún, ¿y si el dado tiene un número arbitrario de los lados? Lo que si es de salida es continua?

Answer 1

Dicen los pesos $(p_k)$ el rendimiento de la distribución asintótica $(q_k)$. El paso de Markov dinámica del proceso significa que, para cada $k$$1$$N$, $$q_k=\sum_{i=1}^Nq_i\frac{p_k}{P_{i+1}}[i+1\ge k],\quad\text{donde}\ P_k=\sum_{i=1}^kp_i,$$ con el convenio que $P_{N+1}=1$.

Si una colección de pesas $(p_k)$ los rendimientos de la distribución uniforme $q_k=1/N$ por cada $k$$1$$N$, la media asintótica se $\frac12(N+1)$, según se requiera. Pero esto sucede si y sólo si, para cada $k$, $$\frac1{p_k}=\sum_{i=1}^N\frac1{P_{i+1}}[i+1\ge k].$$ En particular, $$\frac1{p_1}=\sum_{i=1}^N\frac1{P_{i+1}}=\frac1{p_2},$$ por lo tanto $p_1=p_2=x$, dicen, y $P_1=x$, $P_2=2x$. Asimismo, $$\frac1{p_3}=\sum_{i=2}^N\frac1{P_{i+1}}=\frac1{p_2}-\frac1{P_2}=\frac1{x}-\frac1{2x},$$ por lo tanto $p_3=2x$$P_3=4x$. A partir de aquí, el uso de las relaciones $$\frac1{p_k}=\frac1{p_{k-1}}-\frac1{P_{k-1}},\quad P_k=P_{k-1}+p_k,$$ uno se demuestra de forma recursiva que $p_k=2^{k-2}x$ $P_k=2^{k-1}x$ por cada $k$$2$$N$. Desde $P_N=1$, los rendimientos de $x=2^{1-N}$.

Finalmente, un adecuado cobro de pesos $(p_k)$ es $$p_1=2^{1-N},\quad p_k=2^{k-1-N},\quad 2\le k\le N.$$