¿Por qué es cierto que todo espacio de producto interno de dimensión finita es un espacio de Hilbert?

Question

Un espacio de Hilbert es, por definición, un espacio de producto interno completo. Si $(V,|.|)$ es un espacio de producto interno de dimensión finita $n$ entonces es (topológicamente) isomorfo a $\mathbb{R}^n$ que es, por supuesto, completo. Mi instinto aquí me dice "y por lo tanto, $V$ también es un espacio de Hilbert". Sin embargo, no estoy seguro de este paso ya que la completitud depende de la norma y la norma depende del producto interno seleccionado (asumiendo que se utiliza la norma inducida $||x|| = (x | x)^{1/2}$). Entonces, ¿debemos poner alguna condición en el producto interno o es suficiente la isomorfismo topológico entre $\mathbb{R}^n$ para garantizar que $V$ es un espacio de Hilbert?

Answer 1

Un espacio de producto interior real $n$-dimensional no es solo isomorfo topológicamente a $\mathbb{R}^n$ (esto no implicaría completitud, ya que no es una propiedad topológica). Es isométrico a él. De hecho, sea $V$ un espacio así y sea $v_1,\dots,v_n$ una base ortonormal en $V$. Sea $e_1,\dots,e_n$ la base estándar en $\mathbb{R}^n$. Defina una transformación lineal $T:V \to \mathbb{R}^n$ declarando $T(v_i)=e_i$ para $i=1,\dots,n$ y extendiéndola linealmente. Entonces $T$ es claramente una biyección y $\left\langle T\left(v_{i}\right),T\left(v_{j}\right)\right\rangle =\left\langle e_{i},e_{j}\right\rangle =\delta_{ij}=\left(v_{i},v_{j}\right)$, por lo que $T$ respeta las estructuras de producto interior. Es decir, $T$ es un isomorfismo de espacios de producto interior y, por lo tanto, cualquier propiedad de $V$ (como espacio de producto interior) está implicada por la propiedad correspondiente en $\mathbb{R}^n$. En particular, es Hilbert.

Answer 2

El paso está incompleto, pero la brecha no es difícil de cerrar. Sea $V$ un espacio vectorial real de dimensión finita equipado con una topología Hausdorff tal que la adición y la multiplicación por escalar sean continuas, y sea $e_1, ... e_n$ una base de él. Considera la función

$$f : \mathbb{R}^n \ni (x_1, ... x_n) \mapsto x_1 e_1 + ... + x_n e_n \in V.$$

Por la suposición, $f$ es continua. La imagen de la bola cerrada $B_r$ de radio $r$ alrededor del origen es Hausdorff por suposición, por lo que $f$ restringida a $B_r$ es una biyección continua de un espacio compacto a un espacio Hausdorff, por lo tanto, un homeomorfismo. Por lo tanto, $f$ es un homeomorfismo.

Si $V$ es un espacio de producto interno de dimensión finita, entonces ejecuta el argumento anterior con $e_1, ... e_n$ una base ortonormal. Entonces $f$ es una isometría.

Más generalmente, es cierto que cualquier dos normas en un espacio vectorial real o complejo de dimensión finita son equivalentes (así que si una es completa, todas lo son).

Answer 3

De hecho, la compacidad de la esfera unitaria en un espacio de dimensión finita puede decirnos que todas las normas en ese espacio son equivalentes. Por lo tanto, en cualquier norma (inducida por un producto interno u de otra manera), los espacios lineales normados de dimensión finita siempre son completos.

Answer 4

Bueno, ¿cómo funciona demostrar que $V$ y $\mathbb{R}^n$ son topológicamente equivalentes? ¿Construyes una base ortonormal y la asignas a $e_1,e_2,...,e_n$, ¿verdad? Luego extiendes linealmente y demuestras que esta asignación es una biyección lineal continua. Pero es aún más: es una Isometría, y por lo tanto preserva la completitud, como se comprueba fácilmente.