Supongamos que $X$ está conectado a un compacto Hausdorff espacio con la propiedad de que para cada conjunto finito $F\subseteq X$ el espacio $X\setminus F$ está conectado. Podemos concluir que la cobertura de la dimensión de $X$ es de al menos 2? Nota: no asumo que $X$ es la ruta de acceso conectado.
Esta pregunta es algo doble para el clásico problema de Menger si adyacentes de un número finito de puntos a cero-dimensional espacio mantiene la dimensión 0.
La esponja de Menger es un contraejemplo. Es compacto Hausdorff, y de la dimensión 1, y el complemento de cualquier subconjunto finito es el camino conectado.
El Cubo-manejar continuum es un subconjunto del plano de dimensión $1$, y no tiene finita separador.
El complemento de cualquier conjunto finito es, sin embargo, muy lejos de trayectoria-conectado, en contraste con la esponja de Menger.
Me pregunto si hay un conjunto en el plano de la dimensión $1$ de manera tal que cada co-subconjunto finito es el camino-conectado?
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