Extraño $\int_{0}^{\pi/4}{(1-e^x)^2\over (1-x^2)^2}dx\approx0.999976$

Question

A mi pregunto cuál sería la forma cerrada para esta integral $\int_{0}^{\pi/4}{(1-e^x)^2\over (1-x^2)^2}dx$ tiene un valor aproximado de extrañamente $\approx0.999976 ...?$

podemos empezar por hacer una simple sustitución $(x=\sin y, dx=\cos y)$

$$\int_{0}^{\arcsin(\pi/4)}\sec^3 y(1-e^{\sin y})^2dy\tag1$$

$$\int_{0}^{\arcsin(\pi/4)}\sec^3 y-2\sec ^3ye^{\sin y}+\sec^3ye^{2\sin y}dy\tag2$$

$$\int_{0}^{\arcsin(\pi/4)}\sec^3 ydy-\int_{0}^{\arcsin(\pi/4)}2\sec ^3ye^{\sin y}+\sec^3ye^{2\sin y}dy\tag3$$

usando integración por parte $$\int_{0}^{\arcsin(\pi/4)}\sec^3 ydy$$ da

$0.5\left(\tan x\sec x-\ln\left[\cos(x/2)-\sin(x/2)\right]+\ln[\cos(x/2)+\sin(x/2)]\right)+K$ y poner el límite que sería bastante trabajo puesto de trabajo.

Puede ser que hay otra manera de lidiar con este problema.

Answer 1

La antiderivada puede ser calculada $$I=\int{(1-e^x)^2\over (1-x^2)^2}\,dx$$ $$4I=\frac{2 \left(1-e^x\right)^2 x}{1-x^2}+\log\left(\frac{1+x}{1-x} \right)+\frac{-4 e \text{Ei}(x+1)+e^4 \text{Ei}(2 x-2)+3 \text{Ei}(2 x+2)}{e^2}$$ donde aparece la integral exponencial de la función.

No voy a escribir la expresión de la integral definida que efectivamente se evalúa como $0.99997570282872060195$

Usted puede obtener la antiderivada el uso de Wolfram Alpha.