El primer paso es reconocer que la ecuación es invariante bajo $d$dimensiones de las rotaciones alrededor de $\mathbf{x} - \mathbf{x}' = \mathbf{0}$ y simultánea idénticos traducciones de $\mathbf{x}$$\mathbf{x}'$, así que podemos hacer el siguiente paso:
$$\begin{align}(-\nabla_d^2 + m^2)G(\mathbf{x}, \mathbf{x}') &= A \delta(\mathbf{x} - \mathbf{x}') \\
& \mathrm{let: }\ r \equiv |\mathbf{x} - \mathbf{x}'| \Rightarrow \\
\frac{A}{\Omega_d r^{d-1}} \delta(r) &= - \frac{1}{r^{d-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left[r^{d-1} \frac{\partial G(r)}{\partial r}\right] + m^2 G(r),\end{align}$$ where the factor $\Omega_d r^{d-1}$ comes from the volume element $\operatorname{d} V = \Omega_d r^{d-1} \operatorname{d}r$ and the derivatives on the right hand side (rhs) are the radial term of $\nabla_d^2$ in $$d-dimensional coordenadas esféricas (wiki enlace).
El siguiente paso es integrar ambos lados de la ecuación en un volumen esférico centrada en el origen con radio de $r$, para luego tomar el límite de $r \rightarrow 0$. Esto da lugar a la normalización de la condición de $G$:
$$\lim_{r\rightarrow 0} \left[r^{d-1} \frac{\partial G}{\partial r}\right] = -\frac{A}{\Omega_d},$$ y se encarga de la parte de la ecuación en la que la función delta es distinto de cero.
La región donde la función delta es igual a cero, la homogeneidad de la región, se convierte en: $$0 = \frac{\partial^2 G}{\partial r^2} + \frac{d-1}{r} \frac{\partial G}{\partial r} - m^2 G.$$ The equation in the homogeneous region can be brought into a more familiar form by the function substitution $G(r) = f(r) r^{-(d/2 - 1)}$:
$$0 = r^2 \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + r \frac{\partial f}{\partial r} - \left(\frac{d}{2} - 1\right)^2 f - m^2 r^2 f.$$ De la forma familiar de esta ecuación es la Bessel modificada de la ecuación. La mayoría de la solución general de esta ecuación es:
$$f(r) = C K_{d/2-1}(mr) + D I_{d/2-1}(mr),$$ with $I_{d/2-1}$ and $K_{d/2-1}$ modified Bessel functions of the first and second kind, respectively, and $C$ and $D$ constantes fijado por las condiciones de frontera.
La condición de contorno en $r\rightarrow \infty$ requiere $D=0$, dando el siguiente formulario para $G$: $$G(r) = \frac{C}{r^{d/2-1}} K_{d/2-1}(mr).$$ Plugging our solution for $G$ into the left hand side (lhs) of the $r \rightarrow 0$ derivados de la condición de límite anterior nos da:
$$\lim_{r\rightarrow0} \left[ r^{d-1} \frac{\partial G}{\partial r}\right] = -\Gamma\left(\frac{d}{2}\right) 2^{d/2-1} m^{1-d/2} C,$$ after application of the small argument limit form of $K_\nu$. Esto implica que:
$$\begin{align}C &= \frac{A m}{2^{d/2-1}\Gamma(d/2) \Omega_d} \\
& = \frac{A m^{d/2-1}}{2^{d/2} \pi^{d/2}},\end{align}$$ where the explicit form of $\Omega_d = S_{d-1}$ se ha insertado.
Por último, la sustitución de $C$ le da:
$$G(r) = \frac{A}{(2\pi)^{d/2}} \left(\frac{m}{r}\right)^{d/2-1} K_{d/2-1}(mr).$$
Analíticamente volviendo atrás a tiempo imaginario, con $r_d^2 = r_{d-1}^2 - (ct)^2$ $A = i$ da el propagador de Feynman (hasta el término proporcional a $\delta(r_{d-1}^2 - (ct)^2)$) mientras usted tenga en mente que $K_\nu$ con un imaginario argumento es una función de Hankel.
