Compactación del conjunto de proyecciones

Question

En una demostración que estoy leyendo vi la afirmación de que el conjunto de proyecciones sobre un subespacio fijo de dimensión finita de un espacio de Banach $X$ es compacto. ¿Es esto obvio, por alguna razón no veo la prueba de este hecho aparentemente simple?

Edición 1: Todas las proyecciones tienen el mismo rango.

Edición 2: La afirmación en el documento es que siempre existe una proyección de la norma más pequeña en un subespacio dimensional finito fijo (el inf se alcanza), y que se sigue de un "argumento de compacidad". Asumí erróneamente que el conjunto de proyecciones debe ser compacto (gracias Martin). Creo que lo que basta es considerar el conjunto de proyecciones con norma menor que la dimensión del subespacio dimensional finito. ¿Es el conjunto compacto en este caso? Si lo es, demostrará la afirmación, ya que la función continua $P\to\|P\|$ alcanzaría el mínimo en este conjunto.

Answer 1

En general, el conjunto de proyecciones sobre un subespacio fijo no está acotado, aunque $X$ es de dimensión finita.

Por ejemplo, dejemos $X=\mathbb C^2$ y $$ P_n=\begin{bmatrix}1&n\\0&0\end{bmatrix}. $$ These are all projections onto the subspace $\mathbb C\oplus 0$, and for any norm we have $$ \|P_n-P_0\|=n\,\left\|\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\right\|. $$ Por tanto, el diámetro del conjunto de proyecciones sobre $\mathbb C\oplus 0$ es infinito.

Cuando $\dim X=\infty$ un conjunto acotado de proyecciones sobre un subespacio de dimensión finita puede seguir sin ser compacto. Sea $X=\ell^2 (\mathbb N) $ . En notación matricial unitaria, sea $P_n=E_{11}+E_{1n}$ (la primera fila de $P_n$ es $1\ 0\cdots\ 0\ 1\ 0\ \cdots$ y el resto es cero). Entonces $P_n$ se proyecta sobre la primera coordenada, $\|P_n\|=\sqrt2$ y $$ \|P_n-P_m\|=\|E_{1n}-E_{1m}\|=\sqrt2. $$