Encuentra todos los enteros positivos $ n $ tales que $\frac {2 ^ {n-1} + 1} {n}$ es un número entero. ¿Dónde me equivoco?

Question

La declaración del problema es: Encuentra todos los enteros positivos $n$ tales que $\frac{2^{n-1}+1}{n}$ es un entero.

Fuente: LTE Amir Houssein Pavardi P.25

Mi enfoque:

Claramente, $n=1$ es una solución, así que supongamos que $n>1$.

$2^{n-1}\equiv -1$ $mod$ $n$;

$2^{2(n-1)}\equiv 1$ $mod$ $n$;

Observa que $n$ es impar, por lo tanto $n-1$ es par. Pero si $p=ord_n(2)$ entonces $p|2(n-1)$ pero no $n-1$ así que $p|2$ sin embargo es una contradicción porque $n-1$ es par. Así que la única solución es $n=1$

¿Es esta prueba correcta? Porque no estoy seguro si las propiedades de orden se aplican a módulos compuestos. Y si alguien tiene una solución que involucre el truco de LTE, por favor publique una prueba parcial ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Está claro que $n$ debe ser impar, y por lo tanto cada factor primo de $n$ es impar. Supongamos que $n \neq 1$. Entonces $n$ tiene algún factor primo impar.

De todos los factores primos de $n$, sea $p$ aquel para el cual la potencia máxima de $2$ que divide a $p - 1$ es la menor.

Entonces podemos escribir $p = 2^s \cdot t + 1$ para algún $s > 0$ y un número natural impar $t$. De la manera en que elegimos $p$, tenemos que para cualquier factor primo $q$ de $n$ se cumple que $q \equiv 1 \pmod{2^s}$, y por lo tanto que $n \equiv 1 \pmod{2^s}$.

Así que podemos escribir $n = 2^s \cdot \alpha + 1$ para algún número natural $\alpha$. Sea $g$ una raíz primitiva módulo $p$. Entonces existe algún número natural $\beta$ tal que $g^\beta \equiv 2 \pmod p$. Ahora sabemos que $$p \,\mid\, n \,\mid\, 2^{n-1} + 1$$ y por lo tanto $$ g^{\beta(n-1)} \equiv 2^{n-1} \equiv -1 \equiv g^{(p-1)/2} \pmod p. $$

De ello se sigue que $$ 2^s \alpha \beta \equiv \beta(n - 1) \equiv \frac{p-1}{2} \equiv 2^{s-1} t \pmod{(p-1)} $$ y por lo tanto $$ 2^s \alpha \beta \equiv 2^{s - 1} t \pmod{2^s t} $$ lo que implica que $$ 0 \equiv 2^{s - 1} t \pmod{2^s} $$ lo cual es una contradicción ya que $t$ es impar.