Que dos números sumados rendimiento $16$, y cuando se multiplican juntos rendimiento $55$.
Sé el $x$ $y$ $5$ $11$ pero quería ver si podía resolver algebraicamente, y se encontró que no podía.
En $x+y=16$, sé que $x=16/y$, pero cuando me conecte de nuevo puedo conseguir algo parecido a $16/y + y = 16$, multiplicar el lado izquierdo por $16$ conseguir $2y=256$ y, a continuación, en última instancia,$y=128$. Estoy haciendo algo mal?
Estamos tratando de resolver el sistema de ecuaciones $x+y=16$, $xy=55$. Aquí hay un par de enfoques sistemáticos que obra en general.
Enfoque de $1$: vamos a utilizar la identidad de $(x+y)^2-4xy=(x-y)^2$. En nuestro caso, hemos $(x+y)^2=256$, $4xy=220$, por lo $(x-y)^2=36$, dando $x-y=\pm 6$.
El uso de $x+y=16$, $x-y=6$, conseguimos añadiendo que $2x=22$, y por lo tanto $x=11$. De ello se desprende que $y=5$.
La posibilidad $x+y=16$, $x-y=-6$ no da nada nuevo. Sumando, obtenemos $2x=10$, lo $x=5$, y por lo tanto $y=11$.
Enfoque de $2$: $x+y=16$, obtenemos $y=16-x$. Sustituto de $y$$xy=55$. Llegamos $x(16-x)=55$. La simplificación da $x^2-16x+55=0$. El cuadrática factores como $(x-5)(x-11)$, por lo que nuestra ecuación se convierte en $(x-5)(x-11)=0$, que tiene las soluciones $x=5$$x=11$.
Pero no podemos confiar necesariamente en no ser tan sencilla de factorización. Así que en general, después de llegar a la etapa de $x^2-16x+55=0$, debemos utilizar la Fórmula Cuadrática. Tenemos
$$x=\frac{16\pm\sqrt{(-16)^2-4(55)}}{2}.$$
Calcular. Tenemos las soluciones $x=5$$x=11$. El correspondiente $y$ ahora son fáciles de encontrar desde $x+y=16$.
Observaciones: $1,$ Recordar que la Fórmula Cuadrática dice que si $a\ne 0$, entonces las soluciones de la ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$ están dadas por $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$
Su enfoque fue junto razonable de las líneas, pero las cosas salieron mal en los detalles. De $xy=55$ obtenemos $x=\frac{55}{y}$. Sustituyendo en la fórmula $x+y=16$, obtenemos $$\frac{55}{y}+y=16.$$ Una estrategia razonable es multiplicar por $y$, consiguiendo $55+y^2=16y$, o, equivalentemente,$y^2-16y+55=0$. Ahora hemos llegado a una ecuación cuadrática que es básicamente la misma que la que hemos llegado arriba.
$2.$ El primer enfoque que hemos utilizado (presentado como un algoritmo, y despojado de la notación algebraica) se va a la Neo-Babilónico veces. El "estándar" problema fue encontrar las dimensiones de una puerta, dada su perímetro y área.
Nuestros dos ecuaciones son: $$x + y = 16 \tag{1}$$ $$xy = 55\tag{2}$$
Reescribiendo la ecuación (1) en términos de sólo $y =$ algo, obtenemos:
$$y = 16-x$$
Sustituyendo esto en la ecuación (2) nos deja: $$x(16-x) = 55$$ $$16x-x^2=55 \implies x = 5 \ \ \text{or} \ \ 11$$
que puede ser visto fácilmente por el factoring o el uso de la fórmula cuadrática. De ello se desprende que $y=11|x=5$$y=5|x=11$.
Por lo tanto sus soluciones en términos de$(x,y)$$(5,11)$$(11,5)$.
Aquí hay otro método: supongamos que usted dice que dos números, $x$$y$, tienen una cierta suma de $x+y=S$, y de un cierto producto $xy=P$. Cómo encontrar a $S$$P$?
Podemos utilizar el hecho de que sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Observe que $$(t-x)(t-y) = t^2 - (x+y)t + xy = t^2 - St + P.$$
Eso significa que $x$ $y$ son precisamente las soluciones a $$t^2 - St + P = 0.$$
En su caso específico, $S=16$$P=55$. Así queremos encontrar las soluciones a $$t^2 - 16t + 55 = 0.$$
La fórmula cuadrática da $$t = \frac{16 \pm\sqrt{256 - 220}}{2} = 8 \pm\frac{1}{2}\sqrt{36} = 8\pm\frac{6}{2} = \left\{\begin{array}{l} 11\\ 5 \end{array}\right.$$ Así que los dos números son $5$$11$.
(Claro que a menudo resolver ecuaciones cuadráticas $t^2 + at + b=0$ por averiguar por eyeballing dos números cuyo producto es $b$ y cuya suma es $-a$, pero siempre podemos usar la fórmula cuadrática para tomar la adivinación fuera de ella).
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