Simplemente se conecta noncompact completo de 2 dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^3$

Question

Puede un simple conectado noncompact completo de 2 dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^3$ (dotado de la métrica inducida por la métrica plana de $\mathbb{R}^3$ ) se conformemente equivalente a la del plano hiperbólico?

Desde el teorema de uniformización sé que debe ser conformmally equivalente a la distancia euclídea del plano o el plano hiperbólico. Pero puedo excluir el segundo caso?

Answer 1

Esta pregunta (volviendo a Loewner) fue estudiado por diversas personas, en el primer ejemplo, creo, se debe a Robert Ossermann

R. Osserman, Una superficie hiperbólica en un espacio de 3 dimensiones. Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 7 (1956), 54-58.

Construye superficies como las gráficas de algunas funciones $f: {\mathbb R}^2\to {\mathbb R}$. Más ejemplos fueron construidos en:

H. Huber Riemannsche Flächen von hyperbolischem Typus im euklidischen Raum. De matemáticas. Ann. 139 (1959) 140-146.

R. Jenkins, hiperbólicos superficies en el espacio tridimensional Euclidiano. Michigan Matemáticas. J. 8 (1961) 1-5.

y, probablemente, de otros documentos.

Hay una pregunta relacionada con el tipo de conformación de una completa simplemente conectados a la superficie de curvatura negativa que no está delimitado lejos del cero. La superficie puede ser hiperbólica o de tipo parabólico, depende de la tasa de decaimiento de la curvatura en el infinito. Por ejemplo, para rotacionalmente simétricas métricas, es decir, métricas de la forma $$dr^2+g(r)^2 d\theta^2$$ la métrica es la conformación del complejo de plano si y sólo si $$\int_1^\infty g^{-1}=\infty.$$

Ver:

J. Milnor, En decidir si una superficie es parabólico o hiperbólico. Amer. De matemáticas. Mensual 84 (1977), no. 1, 43-46.

Milnor más demuestra que si (para todos los gran $r$) la curvatura $K(r)=K(r,\theta)$ satisface $$K(r)\ge −\frac{1}{r^2 \log(r)}$$ a continuación, la métrica es de conformación del plano complejo, mientras que si $g$ es ilimitado y (para $r$) $$K(r)\le −\frac{1+\epsilon}{r^2\log(r)}$$ a continuación, la métrica es de conformación al abrir la unidad de disco.

Milnor del criterio fue extendido arbitraria de las métricas por Peter Doyle en

P. Doyle, En decidir si una superficie es parabólico o hiperbólico, La geometría de movimiento aleatorio, 41-48, Contemp. Math., 73, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 1988.

Él demostró que una métrica $dr^2 + g^2(r,\theta)d\theta^2$ en el avión (en coordenadas polares) es de conformación de la unidad de disco si y sólo si

$$\int_{0}^{2\pi} \frac{d\theta}{\int_1^\infty \frac{dr}{g}}<\infty.$$

Edit. En vista de Milnor del teorema, un ejemplo claro de una superficie en $E^3$ conformación de la unidad de disco puede ser obtenida de la siguiente manera. Deje $f(r), r\ge 0$, ser una función no negativa que cerca de cero es igual a $0$ $r\ge 1$ es igual a $r^\beta$, $\beta> 2$. Tenga en cuenta la superficie de revolución de $S\subset E^3$ que es la gráfica de la función $$(r,\theta)\mapsto z=f(r)$$ (Estoy usando coordenadas cilíndricas $(r,\theta, z)$${\mathbb R}^3$.) A continuación, la superficie de la $S$ es completa y de conformación a la apertura de la unidad de disco.