Cómo podemos obtener el área restando los dos puntos extremos de una función en la Integración?

Question

Por ejemplo, considere la siguiente integración:

f(x) = x^3 [de 1 a 3]

$$\int_{1}^{3}x^{3}dx$$

cuando restamos: {(3^4)/4}-{(1^4)/4}

¿por qué obtenemos el resultado?

Quise decir, cómo se obtiene el área de la resta entre los límites superior e inferior de una función!

Answer 1

Entiendo que su pregunta es que no se trata de la conexión entre la diferenciación, la integración y la zona (que se puede leer aquí), pero acerca de cómo podemos más general, dar sentido al hecho de que el área debajo de una curva está determinada por una función de una sola variable y no, como se podría tal vez esperar, en función de los dos puntos extremos que puede depender en un más complicado en los extremos.

Esto puede entenderse teniendo en cuenta la ecuación funcional

$$S(a,b) + S(b,c) = S(a,c)$$

para el área de $S(x_1,x_2)$ bajo la curva entre el$x_1$$x_2$. Esta ecuación expresa la suma de las áreas: la región bajo la curva entre el $a$ $c$ es la unión de las dos regiones bajo la curva entre el $a$ $b$ y entre el$b$$c$, y por lo tanto su área debe ser la suma de las áreas de estas dos regiones.

Ahora arreglar cualquier punto de $a$ y resolver para $S(b,c)$:

$$S(b,c) = S(a,c)-S(a,b)\;.$$

Pero ahora podemos introducir una nueva función de $T_a(x):=S(a,x)$, la cual es una función de una sola variable $x$, y por lo tanto expresar $S(b,c)$ ya que la diferencia de los valores de esta función:

$$S(b,c)=T_a(c)-T_a(b)\;.$$

Que la función$T_a$, se obtenga dependerá de nuestra elección de un punto de referencia $a$. Sin embargo, la diferencia entre dos funciones de dos diferentes opciones de $a$ $a'$ es

$$T_a(x)-T_{a'}(x)=S(a,x)-S(a',x)=S(a,a')\;,$$

de nuevo por la aditividad de las áreas. El lado derecho no depende de la $x$, por lo que esto muestra que las diferentes funciones de $T_a$ que tenemos para diferentes puntos de referencia $a$ sólo se diferencian por aditivo constantes.

Que plantea la cuestión de si todas las funciones con la propiedad de que el área bajo la curva entre dos extremos está dado por la diferencia de los valores de la función en los extremos difieren de estas funciones $T_a$ sólo por una constante aditiva. Ese es de hecho el caso, ya que para cualquier función de $F$ con esta propiedad y cualquier $a$,

$$T_a(x)=S(a,x)=F(x)-F(a)\;,$$

y así

$$F(x) = T_a(x) + F(a)\;.$$

Esto a su vez plantea la cuestión de si tenemos todas las funciones con esta propiedad por la elección de todos los posibles puntos de referencia $a$. Que, sin embargo, no es el caso, como el ejemplo de $f(x)=0$ muestra: el área bajo La curva es cero para cualquier par de puntos finales, y por lo tanto $T_a(x)=0$ todos los $a$, pero cualquier función de $F(x)=d$ para algunas constantes $d$ tiene la propiedad deseada. Así que la receta para la generación de todas las funciones con esta propiedad es no considerar todas las opciones posibles de $a$, pero para elegir algunos $a$ y, a continuación, agregue todos los posibles constantes.

Para resumir, sin saber nada acerca de la diferenciación y la integración, sólo a partir de la aditividad de las áreas, se puede deducir que: a) el área bajo la curva entre dos puntos extremos puede ser expresado como la diferencia de los valores de una función de una sola variable, evaluados en los dos extremos, b) diferentes funciones con esta propiedad sólo se diferencian por el aditivo constantes, y c) todas las funciones se pueden generar mediante la adición de una constante aditiva a una de las funciones de $T_a=S(a,x)$ arbitrarias $a$.